Ciąg arytmetyczny (postęp arytmetyczny)

Ciąg arytmetyczny

Ciąg liczbowy, w którym różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała nazywamy ciągiem arytmetycznym. Różnicę r = a_n+1 - a_n nazywamy różnicą ciągu.

Ciąg liczbowy (a_n) nazywamy arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest co najmniej trzywyrazowy, i którego każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby r, zwanej różnicą ciągu.

$\underset{r \in R}{\exists} \underset{n \in N}{\forall} a_{n + 1} = a_{n} + r$

Przykłady ciągów arytmetycznych:
a₁ = 5, r = 3; 5, 8, 11, 14, 17, 20, ...
a₁ = 6, r = -2; 6, 4, 2, 0, -2, -4, ...
(2n + 1) = (3, 5, 7, 9, 11, ...)

N-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Na podstawie definicji ciągu arytmetycznego istnieje zależność między wyrazami taka, iż każdy następny wyraz ciągu powstaje poprzez dodanie do bezpośrednio go poprzedzającego stałej wartości r, oznacza to, że istnieje również zależność między pierwszym a dowolnym wyrazem ciągu wyrażająca się wzorem
a_n = a₁ + (n - 1) · r

Suma n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

Suma n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa średniej arytmetycznej wyrazów pierwszego i n-tego pomnożona przez liczbę wyrazów n.
$S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} = \frac{2 a_{1} + (n - 1) \cdot r}{2} \cdot n$

Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Ciąg arytmetyczny jest zawsze ciągiem monotoniczmym:
- rosnącym, gdy różnica ciągu jest dodatnia,
- malejącym, gdy różnica jest ujemna,
- stałym, gdy różnica równa jest 0.

Zadania - ciąg arytmetyczny