Analiza matematyczna, zadanie nr 6276
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
olikacz postów: 23 | 2020-05-18 10:25:42 Pokaż, że jeśli ciąg $(f_{n})_{n\in N}$ funkcji ciągłych na [a,b] jest zbieżny jednostajnie na tym zbiorze do funkcji f, to $\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x)dx = \int_{a}^{b} f(x)dx $ |
chiacynt postów: 749 | 2020-05-18 15:55:33 Dowód Przedział$ [a, b] $ jest zbiorem ograniczonym, zwartym więc ciąg funkcji ciągłych $ (f_{n})_{n\in N} $ jest na tym zbiorze ograniczony. To stwierdzenie nie jest przedmiotem dowodu, ale wypadało by to pokazać. Z definicji jednostajnej ciągłości wynika, że istnieje taka liczba $ \varepsilon > 0, $ i takie $ N(\varepsilon), $ że zachodzą nierówności $ f_{n} - \frac{\varepsilon}{4(b-a)} \leq f(x) \leq f_{n} + \frac{\varepsilon}{4(b-a)}$ dla każdego $ x\in [a, b] $ i $ n\geq N.$ Z tego wynika, że dla każdego $ n\geq N $ i podziału $ P $przedziału $ [a, b] $ spełnione są nierówności $ \underline{S}(f_{n}, P)-\frac{\varepsilon}{4} \leq \underline{S}( f, P) \leq \overline{S}(f, P) \leq \overline{S}(f_{n}, P) + \frac{\varepsilon}{4} $ Stąd $ \overline{S}(f, P) - \underline{S}( f, P) \leq \overline{S}(f_{n}, P)- \underline{S}(f_{n}, P) + \frac{\varepsilon}{2} $ Funkcje $ f_{n}(t) $ są całkowalne więc $ |f_{n}(t) - f(t)| \leq \frac4{\varepsilon}{(b-a)}$ dla $ n\geq N $ i każdego $ t\in R.$ $ \left |\int_{a}^{b} f_{n}dt - \int_{a}^{b} f(t) \right|\leq \int_{a}^{b} |f_{n} - f(t)|dt \leq \frac{\varepsilon}{4}, $ a to oznacza $ \lim_{n\to \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(t) dt = \int_{a}^{b} f(t)dt.$ c.b.d.o. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj