Analiza matematyczna, zadanie nr 6358
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
wachuratb postów: 2 | 2020-06-05 10:32:17 Witam, mam problem z nastepujacym zadaniem. 3. Wyznacz wzór analityczny pozwalający wyliczyć n-ty wyraz ciągu określonego rekurencyjnie:$ a_{0} = 0, a_{1} = 1, a_{n} = 3a_{n-1} - 2a_{n-2}$. Doszedlem do wniosku, ze wzor rekurencyjny mozna uproscic na $a_{n} = 2a_{n-1} + 1$ jednakze nie wiem jak dojsc do wzoru ogolnego Uprzejmie prosze o pomoc. Wiadomość była modyfikowana 2020-06-05 11:19:08 przez wachuratb |
chiacynt postów: 749 | 2020-06-05 10:39:55 Nieczytelny zapis treści zadania. Brak użycia edytora LateX. Metoda funkcji tworzących. |
chiacynt postów: 749 | 2020-06-05 20:22:34 $ a_{n} = 3a_{n-1}-2a_{n-2}, \ \ a_{0}=0, a_{1}=1 $ Metoda funkcji tworzących (generujących) Funkcja tworząca (generująca) ciągu $ f(x)= \sum_{i=0}^{\infty}a_{i}x^{i} $ $ f(x) = \sum_{i=0}^{\infty}a_{i}x^{i} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^2 +a_{3}x^3+a_{4}x^4 +...= 0 +1x +(3a_{1}-2a_{0})x^2 +(3a_{2}-2a_{1})x^3 + (3a_{3} -2a_{2})x^4 +... $ $ f(x) = x + 3(a_{1}x^2+a_{2}x^3 +a_{3}x^4+...) -2(a_{0}x^2+a_{1}x^3 +a_{2}x^4+...) = x + 3x(f(x)-a_{0}x)- 2x^2f(x) $ $ f(x) = x +3xf(x) -2x^2 f(x) $ $ f(x) = \frac{x}{2x^2 -3x +1} = \frac{x}{(1-2x)(1-x)} $ Rozkład funkcji generującej na sumę ułamków prostych $ f(x) = \frac{x}{(1-2x)(1-x)} = \frac{A}{1-2x} + \frac{B}{1-x}$ $ x \equiv (-A-2B)x + A + B $ $ \begin{cases} -A -2B = 1 \\ A + B = 0 \end{cases} $ $ A = 1, \ \ B = -1 $ $ f(x) = \frac{1}{1-2x} - \frac{1}{1-x} $ $ f(x) = (1 + 2x + 4x^2 +8x^3+...+ 2^{n}x^{n}+...) - (1 + x + x^2 + x^3 +...+ 1x^{n}+...)$ Porównując współczynniki przy $ x^{n}, \ \ n=0,1,2,... $ otrzymujemy wzór ogólny ciągu: $ a_{n} = 2^{n} -1. $ Wiadomość była modyfikowana 2020-06-05 21:09:10 przez chiacynt |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj