Inne, zadanie nr 205
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
hans505 postów: 1 | 2015-07-15 14:06:51 Cześć, mam dość nietypowy (?) problem. Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić dwa ostatnie kroki z: http://www.math.uni.wroc.pl/~wojak/rp/SplotNormalnych.pdf Chodzi o splot dwóch funkcji normalnego rozkładu X,Y $\sim$ N(0,1), co ma dać Z$\sim$ N(0,2) W przedostatnim kroku wyszło mi, że dx=$\frac{-1}{\sqrt{2}}$dw i rozumiem, że autor dąży do tego aby wskazać, że całka po prawej jako funkcja normalnego rozkładu=1, ale co się stało z tym minusem u niego? Proszę bardzo o pomoc! |
janusz78 postów: 820 | 2015-07-15 23:04:30 Z definicji splotu dwóch funkcji gęstości zmiennych losowych o standaryzowanym rozkładzie normalnym. $f_{Z}(z)= \int_{R}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(z-x)^2}{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx.$ $f_{Z}(z)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{R}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2-2zx +x^2}{2}}dx.$ $f_{Z}(z)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{4}}\int_{R}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(z-2x)^2}{4}}dx.$ Podstawienia $ t = \frac{(z-2x)}{\sqrt{2}}, \frac{dx}{dt}=-\frac{1}{\sqrt{2}}.$ $ f_{Z}(z)= \frac{1}{\sqrt{4\pi}}e^{-\frac{z^2}{4}}\int_{R}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}e^{-\frac{z^2}{4}}\cdot 1=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}e^{-\frac{z^2}{4}} .$ $ Z\sim N(0, \sqrt{2}).$ Minus zniknął bo wstawiamy wartość bezwzględną tego podstawienia. Wiadomość była modyfikowana 2015-07-15 23:48:09 przez janusz78 |
janusz78 postów: 820 | 2015-07-16 09:07:53 Drugi sposób w oparciu o funkcje tworzące $X \sim N(0,1).$ $Y\sim N(0,1).$ $Z =X* Y = M_{X}(t)\cdot M_{Y}(t)= e^{\frac{t^2}{2}}\cdot e^{\frac{t^2}{2}}= e^{\frac{2t^2}{2}}= e^{\frac{(\sqrt{2}t)^2}{2}}.$ $ Z\sim N(0, \sqrt{2}).$ |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj