Funkcja parzysta i nieparzysta (parzystość funkcji)

Funkcja parzysta i nieparzysta

Funkcje parzyste i nieparzyste to funkcje, które zachowują symetrię względem znaku argumentu.

Funkcja parzysta

funkcję f nazywamy funkcją parzystą, jeśli dla każdego x należącego do dziedziny funkcji, -x również należy do dziedziny oraz f(-x) = f(x).

\underset{x \in D_{f}}{\forall}

Funkcja f jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór D_f jest symetryczny względem zera oraz oś OY jest osią symetrii wykresu tej funkcji.

Funkcja nieparzysta

funkcję f nazywamy funkcją nieparzystą, jeśli dla każdego x należącego do dziedziny funkcji, -x również należy do dziedziny oraz f(-x) = -f(x).

\underset{x \in D_{f}}{\forall}

Funkcja f jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór D_f jest symetryczny względem zera oraz punkt 0 = (0, 0) jest środkiem symetrii wykresu tej funkcji.

Należy pamiętać, że własność parzystości funkcji nie jest równoznaczna z własnością nieparzystości funkcji i odwrotnie.

Dziedzina funkcji parzystych i nieparzystych jest symetryczna, tzn. jeżeli x należy do dziedziny, to -x również.
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY, a nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Jeśli 0 należy do dziedziny nieparzystej funkcji f, to f(0) = 0 (wykres funkcji przechodzi przez początek układu współrzędnych).

funkcje parzyste
   - funkcja stała,
   - funkcja trygonometryczna cosinus,
   - wartość bezwzględna,
   - funkcja potęgowa o parzystym wykładniku,
   - wielomiany zawierające niezerowe współczynniki tylko przy parzystych potęgach zmiennej.

funkcje nieparzyste
   - funkcja liniowa której wykres przechodzi przez początek układu współrzędnych
   - funkcja potęgowa o nieparzystym wykładniku,
   - funkcje trygonometryczne sinus i tangens,
- wielomiany zawierające niezerowe współczynniki tylko przy nieparzystych potęgach zmiennej.

Jedynymi funkcjami będącymi jednocześnie parzystymi i nieparzystymi są funkcje stałe równe tożsamościowo zeru.