Kwantyfikatory

Funkcja zdaniowa staje się zdaniem, gdy za zmienne występujące w niej podstawimy zdania. Innym sposobem uzyskania zdania z formy zdaniowej jest użycie tzw. kwantyfikatorów określających wzajemne związki między funkcją zdaniową a zakresem zmienności jej zmiennych zdaniowych.

Aby uzyskać zdanie z formy zdaniowej często poprzedzamy je sformułowaniem:
- Istnieje element należący do dziedziny, dla którego forma zdaniowa staje się zdaniem prawdziwym.
- Dla każdego elementu należącego do dziedziny forma zdaniowa staje się zdaniem prawdziwym.
Zwroty istnieje takie i dla każdego nazywamy kwantyfikatorami.

Wyrażenie dla każdego nazywamy kwantyfikatorem ogólnym (dużym) i oznaczamy symbolem ∀. Wyrażenie istnieje nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym (małym) i oznaczamy symbolem ∃.

Jeśli w(x) jest funkcją zdaniową zmiennej x, o zakresie zmienności X ≠ 0, to zamiast dla każdego x należącego do X jest w(x) piszemy $\underset{x \in X}{\forall} w (x)$ i zamiast istnieje x należące do X, takie że w(x) piszemy $\underset{x \in X}{\exists} w (x)$

Zmienna występująca przy znaku kwantyfikatora nazywa się zmienną związaną danym kwantyfikatorem. Natomiast zmienna występująca w wyrażeniu matematycznym, która nie jest związana żadnym kwantyfikatorem, nazywa się zmienną wolną. Wyrażenie następujące po kwantyfikatorze, objęte tym kwantyfikatorem, nazywa się zasięgiem kwantyfikatora.

Kwantyfikatory przekształcają funkcje zdaniowe jednej zmiennej w zdania prawdziwe lub fałszywe.
Zdanie $\underset{x \in X}{\forall} w (x)$ jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element a∈X spełnia funkcję zdaniową w(x), czyli gdy dla każdego a∈X zdanie w(a) jest prawdziwe.
Zdanie $\underset{x \in X}{\exists} w (x)$ jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje element a∈X spełniający funkcję zdaniową w(x), czyli taki, że zdanie w(a) jest prawdziwe.

Kwantyfikator ogólny można uważać za uogólnienie koniunkcji, a kwantyfikator szczegółowy można uważać za uogólnienie alternatywy.