Liczba e (liczba Nepera)

Liczba e

Liczba e pojawiła się w matematyce w zupełnie innych okolicznościach aniżeli bardziej znana liczba pi. W starożytności nie znano jej, pojawiła się dopiero w XVI wieku za sprawą szkockiego matematyka Johna Napiera (Nepera), który ułożył tablice logarytmów, bardzo pomocne przy skomplikowanych obliczeniach astronomicznych. Logarytmy bowiem wymyślono, aby zamienić mnożenie na dodawanie. Przez setki lat, cudowna własność logarytmów, dzięki której z pomocą tablic lub dwóch linijek z logarytmiczną skalą - można było dodawać zamiast mnożyć, ułatwiała astronomom życie. Dziś, w epoce komputerów, zastosowanie logarytmów do mnożenia ma mniejsze znaczenie praktyczne.

Liczbę e definiujemy jako granicę
$e = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$

Granica ta zbliża się do 2.718281828459045235360287..., liczby niewymiernej i niealgebraicznej. W 1873 roku Charles Hermite pokazał, że e jest przestępna.

Liczba e nazywana jest także liczbą Napiera (Napera), oznaczenie "e" wprowadził w 1736 roku Leonhard Euler, który badał różne liczby i oznaczał je literami alfabetu. Na tę liczbą wypadło akurat e.

Liczbę e można otrzymać także jako wynik sumy szeregu odwrotności silni kolejnych liczb naturalnych:
$e = \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ... + \frac{1}{(n - 1)!} + \frac{1}{n!}$
Im większe weźmiemy n, tym dokładniejsze przybliżenie otrzymamy. Wzór ten bardzo szybko daje dobre przybliżenia, dla n = 10 otrzymujemy dokładną wartość liczby do piątej cyfry po przecinku.

Przybliżoną wartość liczby e można obliczyć z dowolną dokładnością według wzoru:
$e^{x} = \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} \frac{x^{n}}{n!}$
Jest to rozwinięcie funkcji wykładniczej f(x) = e^x w tzw. szereg Maclaurina
Stosuje się też oznaczenie e^x = exp(x) (wykładnik po łacinie to exponens). Funkcja wykładnicza f(x) = e^x jako jedyna ma pochodną równa sobie samej.

Logarytmy naturalne wzięły się stąd, że zostały wymyślone jako naturalny sposób zamiany mnożenia w dodawanie. Funkcje logarytmiczne są odwrotne do funkcji wykładniczych i właśnie e jest podstawą tej odwrotnej do logarytmu naturalnego funkcji. Logarytm przy podstawie e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy ln.

Występowanie liczby e

Liczbę Napiera można spotkać w bankowości. Inwestując pewną sumę pieniędzy w banku na p% po roku zwiększamy jej wartość i tak dla zainwestowanej 1 złotówki mamy $(1 + \frac{p}{100})$ złotych. Po n latach wzrasta do ${(1 + \frac{p}{100})}^{n}$ złotych. Mieliśmy szczęście i bankier zaproponował nam ogromną stopę procentową, sto procent. Zainwestowaliśmy więc wszystkie nasze oszczędności, oznaczmy je przez x. Po roku będziemy bogatsi, podwoimy nasz wkład, otrzymamy 2x. Jest jednak możliwość otrzymania swoich odsetek w dowolnym czasie i ponowne ich zainwestowanie. Jeśli odbierzemy odsetki po sześciu miesiącach i ponownie je zainwestujemy, to po roku otrzymamy x(1 + 1/2)² = 2,25x. Odbierając odsetki kwartalnie jeszcze bardziej zwiększamy nasz zysk, po roku mielibyśmy x(1 + 1/4)⁴ = 2,441x. Miesięczne pobieranie odsetek i ponowne inwestowanie wzbogaca nas jeszcze bardziej: x(1 + 1/12)¹² = 2,5996x. Potem codziennie - znowu więcej, co minutę, sekundę - jeszcze więcej, jeszcze trochę i będziemy bogaci. Nic z tego, nasze procenty składane mogą się mnożyć, ale przy końcu otrzymamy dokładnie wartość liczby e czyli około 2,7182x.

Funkcję wykładniczą można odnaleźć w przyrodzie i w społeczeństwie, gdzie odwzorowuje rozwój rośliny, rozwój danej populacji. Ogólnie jeśli stopień rozwoju jest proporcjonalny do stanu rozwoju, to mamy do czynienia z funkcją wykładniczą.

Liczba e z dokładnością do miliona miejsc po przecinku