Punkt przecięcia dwóch prostych

Gdy proste k i l nie są równoległe, to przecinają się one w pewnym punkcie P. Punkt przecięcia P leży tak na prostej k, jak i na prostej l, zatem jego współrzędne muszą spełniać jednocześnie równania obu prostych. Współrzędne punktu P otrzymujemy rozwiązując układ równań

$\{\begin{matrix} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} A_{1} x + B_{1} y = - C_{1} \\ A_{2} x + B_{2} y = - C_{2} \end{matrix}$

Mamy układ równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi, które możemy rozwiązać metodą wyznaczników.

$W = | \begin{matrix} A_{1} & B_{1} \\ A_{2} & B_{2} \end{matrix} | = A_{1} \cdot B_{2} - A_{2} \cdot B_{1}$
$W_{x} = | \begin{matrix} - C_{1} & B_{1} \\ - C_{2} & B_{2} \end{matrix} | = (- C_{1}) \cdot B_{2} - (- C_{2}) \cdot B_{1}$
$W_{y} = | \begin{matrix} A_{1} & - C_{1} \\ A_{2} & - C_{2} \end{matrix} | = A_{1} \cdot (- C_{2}) - A_{2} \cdot (- C_{1})$

Zakładaliśmy że proste k i l nie są równoległe, więc W ≠ 0, a układ równań jest oznaczony i ma dokładnie jedno rozwiązanie:
$x = \frac{W_{x}}{W}$ $y = \frac{W_{y}}{W}$ ,
gdzie x i y są współrzędnymi punktu P przecięcia się prostych k i l.