Wielokąty foremne

Wielokątem foremnym nazywamy taki wielokąt, w którym wszystkie boki mają równe długości i wszystkie kąty mają równe miary.

Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Wielokątem foremnym o najmniejszej liczbie boków jest trójkąt równoboczny. Czworokąt foremny to kwadrat.

Miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego o n bokach można obliczyć ze wzoru:
$α = 180 ° - \frac{360 °}{n}$
Suma miar kątów wewnętrznych n-kąta jest równa (n - 2) · 180°.

Pole wielokąta foremnego
a - bok n-kąta foremnego,
r - promień okręgu wpisanego w n-kąt foremny,
R - promień okręgu opisanego na n-kącie foremnym,
φ - kąt środkowy oparty na łuku wyznaczonego przez bok wielokąta.

$P = \frac{1}{2} n a r = \frac{1}{2} n R^{2} sin \frac{2 π}{n}$

Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny można wpisać okrąg, a środki tych okręgów pokrywają się.

Promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym obliczamy:
$R = \frac{a}{2 sin \frac{π}{n}}$
Promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny obliczamy:
$r = \frac{a}{2 tg \frac{π}{n}}$

Każda symetralna boku wielokąta foremnego jest osią symetrii tego wielokąta.
Każda dwusieczna kąta wewnętrznego wielokąta foremnego zawiera się w osi symetrii tego wielokąta.

Tabela własności niektórych wielokątów foremnych
α - miara kąta wewnętrznego
P - pole wielokąta

wielokąt	rysunek	α	P
trójkąt równoboczny		60°	$P = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$
kwadrat		90°	a²
pięciokąt		108°	$P = \frac{a^{2} \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}}{4}$
sześciokąt		120°	$P = \frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{2}$

Wielokątami foremnymi zajmował się między innymi niemiecki matematyk C. F. Gauss, który w 1801 odkrył, że n-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą postaci 2^kp, gdzie p jest liczbą pierwszą Fermata.