Konkurs nr 117
informacje | zadania | ranking | ostatnie zgłoszenia
Nieprzypadkowość przypadków
Czy zastanawiałeś/aś się kiedykolwiek nad tym czy częstość występowania cyfr w różnych liczbach, z którymi na co dzień się stykamy, podlega jakiejś regule? Pewnie nie, w końcu niby z jakiego powodu cyfra 1 miałaby występować istotnie częściej w danych na temat powierzchni jezior w Polsce, albo w kwotach sald na kontach bankowych. Otóż jest taki powód :)
Rozkład Benforda to rozkład prawdopodobieństwa występowania określonej pierwszej cyfry w wielu rzeczywistych danych statystycznych, np. dotyczących powierzchni jezior w Polsce, danych z rocznika statystycznego, wartościach stałych fizycznych. Ogólnie rozkład ten sprawdza się w przypadku wielkości, które mogą przyjmować różne rzędy wielkości. Fakt częstego występowania tego rozkładu w obserwowanych danych zwany jest prawem Benforda.
Prawdopodobieństwo wystąpienia cyfry k na 1 miejscu jest równe:
[tex]P_k=log_{10}(1+ \frac{1}{k}) [/tex]
Ale prawo Benforda da się rozszerzyć na dowolny ciąg cyfr (o ile oczywiście ten ciąg nie przekracza zakresu w jakim znajdują się te liczby). I tak prawdopodobieństwo, że dana liczba będzie się zaczynać od ciągu cyfr 134 jest równe [tex]log_{10}(1+ \frac{1}{134})[/tex].
Mając te informacje oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że druga cyfra losowo wybranej stałej fizycznej będzie równa 3.