Ciąg liczbowy Fibonacciego
Spośród wszystkich ciągów liczbowych, które występują, jeden jest szczególnie interesujący. Ciąg ten zawdzięcza swoją nazwę matematykowi z Pizy, Leonardowi, który pod nazwiskiem Fibonacci wydał w 1202 roku księgę Liber Abaci. Ojciec Leonarda nosił przydomek Bonacci, stąd syn został Fibonaccim (filius Bonacci - syn dobrotliwego) Liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich nazywa się ciągiem Fibonacciego, a liczby pojawiają się w tak wielu sytuacjach, że wydaje się to niemożliwe.
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb określony rekurencyjnie:
$F_0 = 0$
$F_1 = 1$
$F_n = F_n-1 + F_n-2$, dla $n \ge 2$
Początkowe wartości tego ciągu to: $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, \ldots$
Każda liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich (poza pierwszą i drugą). Mamy więc do czynienia z ciągiem
rekurencyjnym. Ciąg liczbowy Fibonacciego jest pierwszym ze znanych ciągów tego rodzaju.
W wyniku podzielenia każdej z liczb ciągu przez jej poprzednik otrzymuje się iloraz oscylujący wokół $1.618$ - liczby złotego podziału. W miarę zwiększania się liczb zmniejszają się odchylenia od tej wartości. Dokładna wartość granicy jest równa $\Phi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,6180339887498948482\ldots$.
Liczby Fibonacciego można wyznaczyć ze wzoru $F_{n+1} = \binom{n}{0} + \binom{n-1}{1} + \binom{n-2}{2} + \ldots $