Badanie przebiegu zmienności funkcji

Badanie danej funkcji wykonujemy według następującego schematu:

1. Analiza ogólnych właściwości funkcji:
a). wyznaczamy zbiór określoności funkcji,
b). wyznaczamy granice na krańcach przedziału (przedziałów) jej określoności,
c). wyznaczamy punkty wspólne wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych (o ile istnieją),
d). badamy istnienie asymptot,
e). badamy parzystość, nieparzystość, okresowość funkcji.

2. Analiza pierwszej pochodnej:
a). wyznaczamy pierwszą pochodną w punktach, w których istnieje,
b). badamy znak pierwszej pochodnej w celu wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji,
c). wyznaczamy ekstrema funkcji,

3. Analiza drugiej pochodnej:
a). wyznaczamy druga pochodną w punktach, których istnieje,
b). badamy znak drugiej pochodnej w celu wyznaczenia przedziałów, w których wykres funkcji jest wklęsły, a w których wypukły,
c). wyznaczamy punkty przegięcia (o ile istnieją).

4. Sporządzamy tabelkę zmienności funkcji.

5. Sporządzamy wykres funkcji.

Przytoczony schemat jest tylko ogólnym przykładem pokazującym, jak należy badać zmienność funkcji. W wielu przypadkach posługując się pochodną drugiego i trzeciego rzędu w prosty sposób można ustalić istnienie punktów ekstremalnych i punktów przegięcia badanej funkcji, tym samym więc kolejność wykonywanych czynności może ulec zmianie.