Cechy podzielności liczb

Czasem dzieląc jedną liczbę przez drugą, nie chcemy znać wyniku tego dzielenia, a jedynie wiedzieć, czy liczba ta dzieli się przez inną bez reszty. Są metody, które pozwalają rozstrzygnąć taką podzielność nie używając przy tym kalkulatora czy kartki z ołówkiem. Metody te nazywamy cechami podzielności liczb.

Liczba jest podzielna przez $2$, jeżeli jej ostatnią cyfrą jest: $2, 4, 6, 8$ albo $0$.

Przykład
Liczba $1234567890$ jest podzielna przez $2$, ponieważ jest parzysta (ostatnia cyfra liczby to $0$).

Liczba jest podzielna przez $3$, jeśli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez $3$.

Przykład
Liczba $1234567890$ jest podzielna przez $3$, ponieważ suma cyfr $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 = 45$ jest podzielna przez $3$.

1. Liczba jest podzielna przez $4$, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez $4$.
2. Liczba jest podzielna przez $4$, jeśli suma cyfr jedności i podwojonej cyfry dziesiątek jest podzielna przez $4$.

Przykład
1. Liczba $1234567890$ nie jest podzielna przez $4$, ponieważ liczba utworzona z ostatnich dwóch cyfr: $90$ nie jest podzielna przez $4$.
2. Liczba $1234567890$ nie jest podzielna przez $4$, ponieważ suma $0 + 2 \cdot 9 = 18$ nie jest podzielna przez $4$.

Liczba jest podzielna przez $5$, jeśli jej ostatnią cyfrą jest $0$ albo $5$.

Przykład
Liczba $1234567890$ jest podzielna przez $5$, ponieważ ostatnia cyfra liczby to $0$.

Liczba jest podzielna przez $6$, jeśli jest parzysta i suma jej cyfr jest podzielna przez $3$.

Przykład
Liczba $1234567890$ jest podzielna przez $6$, ponieważ jest parzysta i suma cyfr $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 = 45$ jest podzielna przez $3$.

Metoda I
Liczba jest podzielna przez $7$, jeśli różnica między liczbą wyrażoną trzema ostatnimi cyframi danej liczby a liczbą wyrażoną wszystkimi pozostałymi cyframi tej liczby jest podzielna przez $7$.

Przykład
Liczba $1234567890$ nie jest podzielna przez $7$, ponieważ suma $890 - 567 + 234 - 1 = 556$ nie jest podzielna przez $7$.

Metoda II
Chcąc sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez $7$, oddzielamy dwie ostatnie cyfry tej liczby i z tak powstałej liczby dwucyfrowej obliczamy resztę z dzielenia przez $7$, po czym resztę zapamiętujemy lub zapisujemy. Liczbę powstałą z pozostałych cyfr podwajamy i postępujemy z nią jak wyżej. Czynność powtarzamy tak długo, aż wyczerpiemy wszystkie cyfry liczby. Wówczas sumujemy wszystkie powstałe reszty. Jeśli suma reszt jest podzielna przez $7$, to także liczba wyjściowa jest podzielna przez $7$.

Przykład
Liczba $1234567890$ nie jest podzielna przez $7$, ponieważ $24$ nie jest podzielne przez $7$.
Rachunki
$1234567890 \Rightarrow 90 \mod 7 = 6$
$12345678 \cdot 2=24691356 \Rightarrow 56 \mod 7=0$
$246913 \cdot 2=493826 \Rightarrow 26 \mod 7=5$
$4938 \cdot 2=9876 \Rightarrow 76 \mod 7=6$
$98 \cdot 2=196 \Rightarrow 96 \mod 7=5$
$1 \cdot 2=2 \Rightarrow 2 \mod 7=2$
$6+0+5+6+5+2= 24$

Liczba jest podzielna przez $8$, jeśli jej trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez $8$.

Przykład
Liczba $1234567890$ nie jest podzielna przez $8$, ponieważ liczba utworzona z trzech ostatnich cyfr $890$ nie jest podzielna przez $8$.

Liczba jest podzielna przez $9$, jeśli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez $9$.

Przykład
Liczba $1234567890$ jest podzielna przez $9$, ponieważ suma cyfr $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 = 45$ jest podzielna przez $9$.

Liczba jest podzielna przez $10$ jeśli jej ostatnią cyfrą jest cyfra $0$.

Przykład
Liczba $1234567890$ jest podzielna przez $10$, ponieważ ostatnia cyfra liczby to $0$.

Liczba jest podzielna przez $11$, jeśli różnica sumy jej cyfr stojących na miejscach parzystych i sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych jest podzielna przez $11$.

Przykład
Liczba $1234567890$ nie jest podzielna przez $11$, ponieważ różnica $(1 + 3 + 5 + 7 + 9) - (2 + 4 + 6 + 8 + 0) = 5$ nie jest podzielna przez $11$.