Prawa działań na logarytmach

Założenia: $a>0, a \neq 1, b>0, x>0, y>0$

logarytm iloczynu	$\log_a(x · y) = \log_ax + \log_ay$
logarytm ilorazu	$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$
logarytm potęgi	$\log_a x^y = y \log_a x$
logarytm pierwiastka	$\log_a \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \log_a x$
zmiana podstawy logarytmu	$\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}$
	$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$
	$a^{\log_ab} = b$

Logarytm iloczynu
Logarytm iloczynu równy jest sumie logarytmów: $\log(x · y) = \log x + \log y$. To jest najważniejsza właściwość logarytmów. Właśnie po to zdefiniowano logarytmy, by mnożenie dawało się zastępować dodawaniem.

Przykłady
$\log 30 = \log 3 + \log 10$
$\log 12 = \log 2 + \log 2 + \log 3$
$\log 0.2 = \log 2 + \log 0.1$
$\log \frac{1}{2} = \log 4 + \log \frac{1}{8}$
$\log (10x) = \log 10 + \log x$

Logarytm ilorazu
Logarytm ilorazu równy jest różnicy logarytmów: $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$. Właściwość ta przydatna jest, gdy mamy do czynienia z ułamkami.

Przykłady
$\log \frac{3}{4} = \log 3 - \log 4$
$\log \frac{x}{3} = \log x - \log 3$
$\log \frac{1}{2} = \log 1 - \log 2$ = $-\log 2$
$\log \frac{a}{2b} = \log a - \log 2b = \log a - (\log 2 + \log b) = \log a - \log 2 - \log b$

Logarytm potęgi i pierwiastka
Logarytm potęgi ($\log_a x^y = y \log_a x$), to wykładnik potęgi pomnożony przez logarytm podstawy potęgi.

Przykłady
$\log 3^2 = 2 \cdot \log 3$
$\log x^4 = 4 \cdot \log x$
$\log 2^x = x \cdot \log 2$
$\log a^{-3} = -3 \cdot \log a$
$\log ((10x)^{2n}) = 2n \cdot \log 10x = 2n(\log 10 + \log x)$
$\log \sqrt[3]{2} = \frac{1}{3} \log 2$
$\log \sqrt{10} = \frac{1}{2} \log 10$

Zmiana podstawy logarytmu
Korzystając ze wzoru $\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}$, możemy dowolnie zmieniać podstawę logarytmu. Korzystając z tej tożsamości, dobierając odpowiednią podstawę, możemy czasami zamienić logarytm na iloraz logarytmów o innej podstawie, które łatwiej będzie policzyć.

Przykłady
$\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2}$
$\log_{27} 243 = \frac{\log_3 243}{\log_3 27} = \frac{5}{3}$