Prawa działań na potęgach

Jeżeli $m, n \in R$ i $a, b \in R^+$ albo $m, n \in Z$ i $a, b \in R$ i $a \neq 0 i b \neq 0$, to:

iloczyn potęg o tych samych podstawach	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
iloraz potęg o tych samych podstawach	$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
potęga iloczynu	$(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$
potęga ilorazu	${(\frac{a}{b})}^m = \frac{a^m}{b^m}$
potęga potęgi	$(a^m)^n =a^{m \cdot n}$

Iloczyn potęg o tych samych podstawach.
Mnożąc potęgi o jednakowej podstawie, dodajemy wykładniki.
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Przykłady:
$4^3 \cdot 4^2 = 4^{3+2} = 4^{5}$
$10^3 \cdot 10^{-7} = 10^{-4}$
$2^{11} \cdot 2^{12} = 2^{23}$
$3^{-10} \cdot 3^{-6} = 3^{-16}$

Iloraz potęg o tych samych podstawach.
Dzieląc potęgi o jednakowej podstawie, odejmujemy wykładniki.
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Przykłady:
$4^3 \div 4^2 = 4^{3-2} = 4^{1}$
$5^6 \div 5^2 = 5^{4}$
$\frac{10^3} {10^{-7}} = 10^{3-(-7)} = 10^{3+7} = 10^{10}$
$\frac{2^{11}} {2^{12}} = 2^{-1}$
$\frac{3^{-10}}{3^{-6}} = 3^{-4}$

Potęga iloczynu.
Są dwa sposoby potęgowania. Pierwszy to taki, że możemy najpierw wykonać mnożenie, a potem potęgowanie. Drugi jest taki, że najpierw obliczamy potęgi, a potem je mnożymy. Wynik będzie taki sam.
$(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$

Przykłady:
$(4 \cdot 5)^2 = 4^{2} \cdot 5^2$
$2^{5} \cdot 3^{5} = (2 \cdot 3)^5 $
$(3 \cdot 2^{-3})^2 = 3^{2} \cdot 2^{-6}$
$(2ax^2)^3 = 8a^3x^6$

Potęga ilorazu.
Potęga ilorazu to iloraz potęg.
${(\frac{a}{b})}^m = \frac{a^m}{b^m}$

Przykłady:
$(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$
$\frac{5^3}{6^3} = (\frac{5}{6})^3 $
$(\frac{x}{10})^2 = \frac{x^2}{10^2} = \frac{x^2}{100} = 0.01x^2$

Potęga potęgi.
Potęgując potęgę trzeba pomnożyć wykładniki.
$(a^m)^n =a^{m \cdot n}$

Przykłady:
$(3^2)^5 = 3^{10}$
$(2^3)^4 = 2^{12}$
$(10^2)^{-4} = 10^{-8}$
$(a^{2x})^{3} = a^{6x}$
$(5^x)^{x} = 5^{x^2}$

O nawiasie trzeba pamiętać, bo $(3^2)^5$ to zupełnie co innego niż $3^{2^5}$.
Warto wiedzieć, że kolejność liczb $m$ i $n$ w podanym wzorze jest nieistotna. Niektóre potęgi można zapisać na wiele sposobów. Np. $2^{12} = (2^2)^6 = (2^6)^2 = (2^3)^4 = ((2^2)^3)^2$.

---

Przykłady do samodzielnego rozwiązania.

1. Oblicz: $2^3 \cdot 2^5$.
2. Znajdź wartość wyrażenia $(4^2)^3$.
3. Oblicz iloczyn $(2^4)^{-2} \cdot 8^2$.
4. Oblicz iloczyn $(10^2)^{-3} \cdot 10^5$.
5. Skróć wyrażenie $\frac{6^5 \cdot 6^2}{6^4}$.
6. Podnieś $4^3$ do kwadratu.
7. Podnieś $11^2$ do sześcianu.
8. Znajdź wartość wyrażenia $(x^3)^2 \cdot x^{-4}$.
9. Znajdź dwukrotność liczby $16^{16}$.
10. Znajdź połowę liczby $16^{16}$.
11. Uprość wyrażenie $\frac{a^4 \cdot a^2}{a^3}$.
12. Oblicz wartość wyrażenia $(4^3 \cdot 4^{-2})^2$.
13. Uprość wyrażenie $(2^6 \cdot 4^4)^{-2}$.