logowanie

Iloczyn wektorowy

Mnożenie wektorowe jest to operacja, której wynikiem jest nowy wektor.

Iloczynem wektorowym wektorów niezerowych ${\displaystyle \overrightarrow{u}}$ i ${\displaystyle \overrightarrow{w}}$ nazywamy wektor ${\displaystyle \overrightarrow{v}}$ taki, że:
1. ${\displaystyle \overrightarrow{v}}={\displaystyle \overrightarrow{\left|u\right|}}{\displaystyle \overrightarrow{\left|w\right|}}\sin \angle ({\displaystyle \overrightarrow{u}},{\displaystyle \overrightarrow{w}})$,
2. ${\displaystyle \overrightarrow{v}}$ jest wektorem prostopadłym do ${\displaystyle \overrightarrow{u}}$ i do ${\displaystyle \overrightarrow{w}}$,
3. Jego zwrot jest taki, że układ wektorów ${\displaystyle \overrightarrow{u}}$, ${\displaystyle \overrightarrow{w}}$, ${\displaystyle \overrightarrow{v}}$, ma orientacje zgodną z przyjętą orientacją przestrzeni.

Iloczyn wektorowy oznaczamy ${\displaystyle \overrightarrow{u}}\times {\displaystyle \overrightarrow{w}}={\displaystyle \overrightarrow{v}}$.

Wartość iloczynu wektorowego jest równa iloczynowi długości pierwszego wektora i długości rzutu drugiego wektora na kierunek prostopadły do pierwszego wektora.

Długość wektora otrzymanego jako iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest równy polu równoległoboku rozpiętego na tych wektorach.

Wektor zerowy otrzymamy wówczas, gdy jeden z wektorów wyjściowych jest zerowy lub gdy wyjściowe wektory są równoległe.

Z warunku 1. otrzymujemy warunek równoległości wektorów ${\displaystyle \overrightarrow{u}}$ i ${\displaystyle \overrightarrow{w}}$, a mianowicie
${\displaystyle \overrightarrow{u}}\times {\displaystyle \overrightarrow{w}}=0$

Własności iloczynu wektorowego
${\displaystyle \overrightarrow{u}}\times {\displaystyle \overrightarrow{w}}=-({\displaystyle \overrightarrow{w}}\times {\displaystyle \overrightarrow{u}})$,
$k({\displaystyle \overrightarrow{u}}\times {\displaystyle \overrightarrow{w}})=\left(k{\displaystyle \overrightarrow{u}}\right)\times {\displaystyle \overrightarrow{w}}={\displaystyle \overrightarrow{u}}\times \left(k{\displaystyle \overrightarrow{w}}\right)$,
$({\displaystyle \overrightarrow{u}}+{\displaystyle \overrightarrow{w}})\times {\displaystyle \overrightarrow{v}}={\displaystyle \overrightarrow{u}}\times {\displaystyle \overrightarrow{v}}+{\displaystyle \overrightarrow{w}}\times {\displaystyle \overrightarrow{v}}$.

Jeżeli ${\displaystyle \overrightarrow{u}}=[u_{\mathrm{x}};u_y;u_z]\text{ i }{\displaystyle \overrightarrow{w}}=[w_x;w_y;w_z]$, to
${\displaystyle \overrightarrow{u}}\times {\displaystyle \overrightarrow{w}}=\left|\begin{array}{ccc}{\displaystyle \overrightarrow{i}}& {\displaystyle \overrightarrow{j}}& {\displaystyle \overrightarrow{k}}\\ u_x& u_y& u_z\\ w_x& w_y& w_z\end{array}\right|=(u_y{w}_z-u_z{w}_y){\displaystyle \overrightarrow{i}}-(u_x{w}_z-u_z{w}_x){\displaystyle \overrightarrow{j}}+(u_x{w}_y-u_y{w}_x){\displaystyle \overrightarrow{k}}$

© 2024 math.edu.pl      kontakt