Jak rozmieszczone są liczby pierwsze?
Różne znane dowody istnienia nieskończoności liczb pierwszych nie wskazują, jak wyznaczyć $n$-tą liczbę pierwszą. Nie ma żadnego wzoru generującego uporządkowane liczby pierwsze. Z pewną dokładnością można przewidzieć liczbę liczb pierwszych, ale ich rozmieszczenie w dowolnych przedziałach cechuje swoista przypadkowość. Wszelkie wymyślane sposoby rozmieszczania liczb pierwszych szybko obalane są przez jakiś kontrprzykład.
Funkcja $\pi$
Rozmieszczeniem liczb pierwszych zajmował się C. F. Gauss. Skupił się on na badaniu długiej listy liczb pierwszych i zaintrygowało go chaotyczne zachowanie ciągu. Nie poszukiwał jednak wzoru wyznaczającego kolejne liczby pierwsze, przeczuwając, że takie próby zakończą się porażką. Skupił się na obliczaniu, ile liczb pierwszych jest mniejszych od pewnej zadanej liczby naturalnej. W tym celu zdefiniował funkcje $\pi(x)$ jako liczbę liczb pierwszych, nie większych od liczby $x$. Wartością funkcji jest liczba liczb pierwszych mniejszych lub równych od zadanej liczby naturalnej, dziś nazywamy ją funkcją zliczającą liczby pierwsze.
Wypiszmy w tabeli wartości funkcji $\pi$ do miliarda i dodajmy kolumnę, w której zapiszemy jaką część wszystkich liczb naturalnych nie większych od danej stanowią liczby pierwsze.
| $x$ | $\pi(x)$ | $\frac{\pi(x)}{x}$ | $\frac{x}{\pi(x)}$ |
| $10$ | $4$ | $0.4000$ | ~$2$ |
| $100$ | $25$ | $0.2500$ | ~$4$ |
| $1000$ | $168$ | $0.1680$ | ~$6$ |
| $10000$ | $1229$ | $0.1229$ | ~$8$ |
| $100000$ | $9592$ | $0.0959$ | ~$10$ |
| $1000000$ | $78498$ | $0.0784$ | ~$13$ |
| $10000000$ | $664579$ | $0.0664$ | ~$15$ |
| $100000000$ | $5761455$ | $0.0576$ | ~$17$ |
| $1000000000$ | $50847534$ | $0.0508$ | ~$20$ |
Widzimy, że funkcja $\pi$ jest rosnąca i monotoniczna oraz, że rośnie szybciej niż $y=\sqrt{x}$, ale wolniej niż $\frac{x}{2}$. Liczby pierwsze stanowią mniej niż połowę wszystkich liczb naturalnych, ale więcej niż pierwiastek. Gaus zauważył, że wartości w ostatniej kolumnie wzrastają mniej więcej o $2$. W każdym wierszu zakres badanych liczb wzrasta dziesięciokrotnie, co odpowiada dodaniu w przybliżeniu dwójki w ostatniej kolumnie. Mamy zależność logarytmu o podstawie $e$.
Dla dużych wartości $x$ wartość $\frac{\pi(x)}{x} \approx \frac{1}{\ln{x}}$.
Funkcja ta jest oszacowaniem częstości występowania liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych.
W 1859 r. Bernhard Riemann podał inne oszacowanie. Określił funkcję dżeta dla liczb zespolonych, a w 1896 r. Jacques Hadamard i
Charles Jean de la Vallée Poussin korzystając z wyników uzyskanych przez Riemanna niezależnie dowiedli, że stosunek
$\pi(x)$ do $\frac{x}{\ln{x}}$ zbiega o jedności, gdy $x$ wzrasta do nieskończoności.