logowanie


matematyka » problem » konkursy » nr 117 » zadania » zadanie 5

Konkurs nr 117

problem

informacje  |  zadania  |  ranking  |  ostatnie zgłoszenia



Niecałkowita nieskończoność

  zgłoszenia   rozwiązania

1) Rozważmy następujący szereg geometryczny:
[tex] S(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+....+x^n[/tex]

2) Jak wiadomo [tex]\lim_{n \to \infty} 1+x+^2+x^3+x^4+x^5+...+x^n= \frac{1}{1-x}[/tex] dla [tex]|x|<1 [/tex]

3)[tex](x^n)'=nx^{n-1}[/tex]

4)Obliczmy pochodną S(x):
[tex](1+x+x^2+x^3+...x^n)'=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+..nx^{n-1}[/tex]

5)Przyjmując założenia z punktu 2 możemy stwierdzić, że:
[tex](1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+....)'=(\frac{1}{1-x})'[/tex]
Czyli
[tex]1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+...= \frac{1}{(1-x)^2} [/tex]

6) Podstawmy [tex]x=-1[/tex]:
[tex]1-2+3-4+5-6+7-....=1+1+1+1+1+1+1+...= \frac{1}{4}[/tex]

Czyli nieskończoność wcale nie jest nieskończona, a nawet nie jest całkowita. W którym podpunkcie po raz pierwszy popełniono matematyczne przestępstwo?





© 2023 math.edu.pl      kontakt