logowanie


matematyka » problem » konkursy » nr 117 » zadania » zadanie 3

Konkurs nr 117

problem

informacje  |  zadania  |  ranking  |  ostatnie zgłoszenia



Trójkąty

  zgłoszenia   rozwiązania

1) Narysujmy dowolny różnoboczny trójkąt ABC, przedłużmy ramiona AB i AC i narysujmy dwusieczną kąta BAC. Następnie narysujmy dolną część symetralnej boku BC. Dwusieczna i symetralna przetną się poza trójkątem. Nazwijmy ten punkt X. Sytuacja wygląda tak jak na rysunku:


2)Zauważmy, że odcinki XB i XC są równej długości.

3)Oznaczmy przez B* punkt, który leży najbliżej punktu X ze wszystkich punktów należących do prostej AB. Przez C* oznaczamy analogiczny punkt na prostej AC. XB*=XC*. Mamy, więc następującą sytuację:


4) Trójkąty XBB* i XCC* są przystające. Zatem BB*=CC*.


5) Trójkąty AXB* i AXC* także są przystające. Zatem AB*=AC*.


6) Jako, że AB*=AB+BB*, AC*=AC+CC*, a CC*=BB* to AB=AC.

7) Przeprowadzając analogiczny dowód dla kąta ABC dowodzimy, że trójkąt ABC jest równoboczny, a jako, że w żaden sposób nie wyróżniliśmy trójkąta ABC to niniejszym udowodniliśmy, że każdy trójkąt jest równoboczny.

W którym podpunkcie dokonaliśmy pierwszego błędnego założenia?





© 2023 math.edu.pl      kontakt