Liczba złota

Wielki astronom Kepler powiedział:
Geometria ma dwa cenne skarby: jeden z nich to twierdzenie Pitagorasa, drugi - podział odcinka w stosunku średnim i skrajnym. Pierwsze porównać do miary złota. Drugie jest niby kamień drogocenny.

$Φ = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} = 1,6180339887498948482...$

Znana zasada złotego podziału polega na tym, że dowolna całość do części większej ma się tak samo jak część większa do części mniejszej. Zależność ta jest wyrażana liczbą złotego podziału - Φ.

Jeśli założymy, że długość odcinka jest równa a, a długość pierwszej z dwóch części odcinka otrzymanych po podziale oznaczymy przez x, to długość drugiej części wynosi a - x. Wtedy to zachodzi równość:

\frac{a}{x} = \frac{x}{a - x}

Po zastosowaniu własności proporcji i uporządkowaniu otrzymujemy równanie:
x² + ax - a² = 0, którego jedynym dodatnim rozwiązaniem jest liczba: $x = \frac{a (\sqrt{5} - 1)}{2}$
Po podstawieniu w miejsce x do powyższej proporcji otrzymane rozwiązanie i po przeprowadzeniu kilku przekształceń algebraicznych otrzymujemy, że stosunek $\frac{a}{x}$ jak i stosunek $\frac{x}{a - x}$ jest taki sam i wynosi $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

Pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus w V wieku p.n.e. Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję, którą chętnie realizowali w architekturze.

Obecnie złoty podział jest też często stosowany, wymiary znormalizowanego zeszytu pozostają w stosunku w przybliżeniu równym stosunkowi złotego podziału.

Liczba złota ma ciekawe własności: Aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej jedynkę. Aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć jedynkę.