Liczby bliźniacze
Już greccy matematycy ze szkoły pitagorejskej, którzy szczególnie cenili sobie harmonię i ład wśród liczb, interesowali się liczbami bliźniaczymi, czyli takimi parami kolejnych liczb pierwszych, których różnica jest równa $2$. Takimi parami są $(3, 5)$, $(5,7)$, $(11, 13)$, $(17, 19)$ i wiele innych. Zasadnicze pytania dotyczą istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych bliźniaczych. Do dziś nie wiadomo, czy takich par jest skończenie, czy nieskończenie wiele. Wiadomo natomiast, że liczby te są rozmieszczone bardzo rzadko, nawet jeśli jest ich nieskończenie wiele.
W 1949 r. P.A. Clement następująco scharakteryzował liczby pierwsze bliźniacze. Niech $n \ge 2$. Liczby $n$ i $n + 2$ tworzą parę liczb pierwszych bliźniaczych wtedy i tylko wtedy, gdy $4((n-1)!+1)+n \equiv 0 \pmod {n(n + 2)}$. Charakteryzacja ta nie ma jednak żadnej praktycznej wartości dla wyznaczania liczb pierwszych bliźniaczych.
Liczby czworacze
Istnieją także czwórki kolejnych liczb pierwszych, dające dwie pary liczb bliźniaczych, na przykład 11, 13, 17, 19 lub 191, 193, 197, 199. Jeżeli taką czwórkę tworzą liczby pierwsze $p$, $p$+2, $p$+6 i $p$+8, to pary takie nazywamy liczbami czworaczymi.