Liczby względnie pierwsze

Jeżeli dwie liczby całkowite $a$ i $b$ spełniają warunek nwd$(a,b)=1$, czyli nie mają żadnego naturalnego dzielnika oprócz 1, to liczby takie nazywamy liczbami względnie pierwszymi.

Rozkłady na czynniki pierwsze liczb względnie pierwszych wyróżniają się brakiem czynników wspólnych dla wszystkich liczb.

Przykłady

$15 = 3 \cdot 5$
$28 = 2 \cdot 2 \cdot 7$
wspólne czynniki: brak
nwd$(15, 28) = 1$
Liczby $15$ i $28$ są względnie pierwsze.

$15 = 3 \cdot 5$
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$
wspólne czynniki: brak
nwd$(15, 16) = 1$
Liczby $15$ i $16$ są względnie pierwsze.

$25 = 5 \cdot 5$
$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3$
wspólne czynniki: brak
nwd$(25, 27) = 1$
Liczby $25$ i $27$ są względnie pierwsze.

Twierdzenie 1
Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb całkowitych $a, b$, względnie pierwszych, jest równa iloczynowi tych liczb.

Ponieważ nwd$(a, b) \cdot$ nww$(a,b)$ i nwd$(a, b)=1$, to nww$(a, b) = ab$.

Twierdzenie 2
Jeżeli liczby $a$ i $b$ są liczbami względnie pierwszymi i liczba całkowita $c$ spełnia warunek $a|bc$, to $a|c$.
Innymi słowy, jeśli liczba jest dzielnikiem iloczynu dwóch liczb i jest pierwsza względem jednego z czynników, to jest dzielnikiem drugiego czynnika.

Jeśli liczba $a$ i $b$ są liczbami względnie pierwszymi, to nwd$(a, b) = 1$ i nww$(a,b) = ab$. Liczba $a$ spełnia warunek $a|bc$, a liczba $b$ jest dzielnikiem liczby $bc$. Stad liczba $bc$ jest wspólną wielokrotnością liczb $a$ i $b$, zatem $bc$ jest podzielna przez najmniejszą wspólną wielokrotność liczba $a$ i $b$ tj. przez $ab$. Otrzymaliśmy więc $ab|bc$, czyli istnieje taka liczba całkowita $k$, że $bc = kab$, stąd $c=ka$, czyli $a|c$.

Twierdzenie 3
Jeśli $a, b, c$ są liczbami całkowitymi takimi, że nwd$(a,c)=1$ i nwd$(b,c)=1$, to nwd$(ab,c)=1$.