Liczby zaprzyjaźnione

Gdy zapytano Pitagorasa - Co to jest przyjaciel? - odpowiedział:
Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń, to stosunek liczb $220$ i $284$.

Liczby zaprzyjaźnione to dwie liczby naturalne, gdzie każda z nich jest równa sumie dzielników właściwych drugiej liczby.

W starożytnych tekstach pojawiała się para liczb 220 i 284 jako liczby zaprzyjaźnione. Przyjaźń tę wyjaśniano za pomocą pewnej miary, mianowicie każda z nich jest sumą dzielników drugiej, nie uwzględniając obu tych liczb jako dzielników. Była to wówczas jedyna para jaką znano o takich własnościach. Sprawdźmy jak spełniają one ten warunek:

$D_{284} = \{1, 2, 4, 71, 142, 284\}$
$D_{220} = \{1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220\}$
$220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142$
$284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110$

Liczbom tym w późniejszym czasie przypisywano cudowne moce i pojawiały się w wielu księgach. W Biblii, liczba 220 dla egzegetów była liczbą magiczną, w pismach arabskich przypisywano jej cudowną moc przydatną w horoskopach. Od XVI wieku liczby o takich własnościach badano i szukano w Europie. Szukaniem zajmowali się między innymi Pierre de Fermat i Kartezjusz. W XVIII w. Euler przedstawił listę zawierającą kilkudziesięciu par liczb zaprzyjaźnionych, choć później okazało się, że dwie pary nie są przyjaciółmi. Ale to żaden z nich nie znalazł drugiej pary $(1184, 1210)$, która została odkryta przez szesnastoletniego Włocha o nazwisku Paganini w 1866 r.

Na przestrzeni wieków próbowano znaleźć wzory generujące liczby zaprzyjaźnione, jednak nie ma prostego wzoru, który pozwoliłby wyznaczać kolejne pary. Wszystkie takie wzory opierają się na czynnikach pierwszych pewnej postaci i generują tylko niektóre pary liczb zaprzyjaźnionych. Dziś par takich poszukuje się za pomocą komputerów, a lista aktualizowana jest co jakiś czas.

Poniżej pary liczb zaprzyjaźnionych mniejszych od $100000$.
$(220, 284)$
$(1184, 1210)$
$(2620, 2924)$
$(5020, 5564)$
$(6232, 6368)$
$(10744, 10856)$
$(12285, 14595)$
$(17296, 18416)$
$(63020, 76084)$
$(66928, 66992)$
$(67095, 71145)$
$(69615, 87633)$
$(79750, 88730)$