logowanie

Liniowa zależność wektorów

Wektory ${\displaystyle \overrightarrow{u_1}},{\displaystyle \overrightarrow{u_2}}\text{, ...,}{\displaystyle \overrightarrow{u_n}}$ nazywamy wektorami liniowo zależnymi, jeżeli istnieje n liczb $k_1,k_2,\text{...},k_n$, z których przynajmniej jedna jest różna od zera, takich, że
$k_1{\displaystyle \overrightarrow{u_1}}+k_2{\displaystyle \overrightarrow{u_2}}+\text{...}+k_n{\displaystyle \overrightarrow{u_n}}=0$

Dwa wektory, z których jeden powstaje z drugiego przez pomnożenie przez jakąś liczbę nazywamy liniowo zależnymi. Z definicji mnożenia wektora przez liczbę bezpośrednio wynika, że dwa wektory niezerowe liniowo zależne są równoległe. Zachodzi także twierdzenie odwrotne, tzn. każde dwa niezerowe wektory równoległe są liniowo zależne.

Wektor ${\displaystyle \stackrel{n}{\sum _{i=1}}{k}_i\overrightarrow{u_i}}$, gdzie k_i, są liczbami rzeczywistymi, nazywamy kombinacją liniową wektorów ${\displaystyle \overrightarrow{u_1}},{\displaystyle \overrightarrow{u_2}}\text{, ...,}{\displaystyle \overrightarrow{u_n}}$.

Wektory kolinearne są liniowo zależne i na odwrót, wektory liniowo zależne są kolinearne. Na płaszczyźnie każde trzy wektory są liniowo zależne.

© 2023 math.edu.pl      kontakt