Macierz diagonalna, jednostkowa, trójkątna

Macierz diagonalna

Macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy oprócz leżących na przekątnej głównej są równe zero nazywamy macierzą diagonalną. a_i,j = 0 dla i ≠ j

Macierz diagonalną oznaczamy diag(a₁, a₂, ..., a_n), gdzie a₁, a₂, ..., a_n to kolejne współczynniki leżące na głównej przekątnej.
Elementy macierzy diagonalnej leżące na głównej przekątnej mogą być również zerami.

Macierz jednostkowa (macierz identycznościowa)

Szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej jest macierz, w której wszystkie elementy leżące na przekątnej głównej są równe jeden, a pozostałe elementy wynoszą zero. Macierz taką nazywamy macierzą jednostkową. Macierz jednostkową stopnia n oznaczamy I_n.

$I_{4} =$

Jeśli macierz A o m wierszach i n kolumnach pomnożymy z prawej strony przez macierz jednostkową I o wymiarach n×n, wtedy macierz A pozostaje niezmieniona, tzn:
AI = A

Macierz jednostkowa jest elementem neutralnym dla mnożenia macierzy.

Macierz trójkątna

Macierz kwadratową, w której wszystkie elementy leżące powyżej przekątnej głównej lub wszystkie elementy leżące poniżej przekątnej głównej są równe zero nazywamy macierzą trójkątną.

Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi elementów leżących na przekątnej głównej.

Macierz odwrotna

Macierz odwrotna jest określona tylko dla macierzy kwadratowych, których wyznacznik jest niezerowy.

Macierz A^-1, której iloczyn z daną macierzą A daje macierz jednostkową I nazywamy macierzą odwrotną.

Rozważając macierz kwadratową A i jej macierz odwrotną A^-1, otrzymujemy AA^-1 = I.

Inaczej, macierz A jest odwracalna, jeśli istnieje taka macierz B, że zachodzi AB = BA = I, gdzie I jest macierzą jednostkową. Jeżeli macierz B nie istnieje, to macierz A nazywamy nieodwracalną.