Metoda analizy starożytnych (analisis antiquorum)

Metoda analizy starożytnych

Metodę rozwiązywania równań zwaną metodą analizy starożytnych przypisujemy Platonowi. Znane są zapiski Diogenesa Laertinusa i Proklusa, którzy zgodnie stwierdzają, że Platon wynalazł nową metodę rozumowania, bardzo przydatną dla rozumowań geometrycznych i podał ją do wiadomości Leodamasowi z Tasos. Platon wyodrębnił metodę spośród innych znanych sposobów rozumowania i w tym znaczeniu mówimy o Platonie jako o wynalazcy analizy starożytnych, którą nazywa się również metodą wnioskowania z przypuszczenia.

Aby rozwiązać metodą tą równanie, zakładamy, że równanie to posiada co najmniej jeden pierwiastek i oznaczamy go pewną liczbą a. Podstawiając liczbę a w miejsce niewiadomej otrzymujemy zdanie prawdziwe. Stosując prawa arytmetyki, znajdujemy liczbę a, po czym sprawdzamy, czy znaleziona liczba jest rozwiązaniem równania.

Metoda analizy starożytnych nie podaje nam w ogóle sposobu doboru żądanego ciągu równości. Kierujemy się intuicją oraz nabytym doświadczeniem lub metodami opracowanymi dla specjalnych typów równań. Metoda ta nie podaje szczegółowego postępowania prowadzącego do rozwiązania dowolnego równania z jedną niewiadomą, może czasami zawieść dla pewnych typów równań.

Przykłady

Rozpatrzmy równanie: $\frac{2 x + 1}{x} = \frac{1}{x} + x$
Zakładamy, że powyższe równanie posiada co najmniej jeden pierwiastek (rozwiązanie). Oznaczając dowolny pierwiastek danego równania liczbą a i wstawiając w miejsce x otrzymujemy równość prawdziwą: $\frac{2 a + 1}{a} = \frac{1}{a} + a$ . Skoro równanie jest prawdziwe, stosujemy znane prawa arytmetyki
$\frac{2 a + 1}{a} = \frac{1}{a} + a / \cdot a$
2a + 1 = 1 + a²
2a - a² = 0
a² - 2a = 0
i ostatecznie otrzymujemy nową równość prawdziwą: (a - 2)a = 0.
Z równości tej wynika, że a = 2 lub a = 0. Jeżeli równanie posiada choć jeden pierwiastek, to pierwiastkiem tego równania jest liczba 2 lub liczba 0. Sprawdzamy teraz poprzez podstawienie do równania liczb 2 oraz 0, czy znalezione liczby są rozwiązaniem równania. Dla liczby 2 lewa strona równania równa jest prawej więc zachodzi równość, 0 nie spełnia równania, ponieważ nie wolno dzielić przez zero. Jedynym rozwiązaniem równania jest liczba 2.

Rozpatrzmy równanie: 3x + 3(1 - x) = 5
Zakładamy, że powyższe równanie posiada co najmniej jeden pierwiastek. Liczbę a podstawiamy w miejsce x i otrzymujemy równość prawdziwą: 3a + 3(1 - a) = 5. Po przekształceniach arytmetycznych otrzymujemy 3 = 5, więc równanie nie posiada ani jednego pierwiastka. Rozwiązaniem równania jest zbiór pusty.