Mnożenie macierzy

Mnożenie macierzy przez skalar

Mnożenie macierzy przez skalar polega na pomnożeniu każdego elementu macierzy przez dany skalar. Mnożąc macierz o wymiarze m×n przez stałą k lub przez liczbę, otrzymujemy macierz, która ma również wymiar m×n. Jeżeli element w i-tym wierszu i j-tej kolumnie ma postać a_ij, to odpowiednim elementem iloczynu jest ka_ij.

$k \cdot =$

Działanie to jest rozdzielne względem dodawania i odejmowania macierzy. Zatem dla dwóch macierzy A i B zachodzi:
k(A + B) = kA + kB oraz kA = Ak

Mnożenie macierzy

Mnożenie macierzy A i B, w wyniku, którego otrzymujemy iloczyn A×B, jest wykonalne tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.

Jeżeli macierz A z elementemi a_ij ma wymiar m×p i macierz B z elementami b_ij ma wymiar p×n, to ich iloczyn A×B = C jest macierzą wymiaru m×n o elementach c_ij będących sumą iloczynów: a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + a_i3 b_3j + ... + a_ip b_pj

$c_{i j} = \overset{p}{\sum_{k = 1}} a_{i k} b_{k j}$ , dla i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., m

Ogólnie każdy element macierzy C jest równy iloczynowi skalarnemu i-tego wiersza macierzy A, przez j-tą kolumnę macierzy B.

Przykład:
$\times = =$

Mnożenie macierzy nie jest przemienne, tzn. na ogół A×B ≠ B×A, natomiast jeżeli A×B = B×A, to macierze A i B nazywamy przemiennymi.

Macierz A		liczba wierszy: liczba kolumn:
Macierz B		liczba wierszy: liczba kolumn: