Permutacje

Permutacją zbioru $n$-elementowego nazywamy każdy $n$-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru.

Permutacja spełnia następujące warunki:
- każda permutacja obejmuje wszystkie elementy,
- istotna jest kolejność elementów permutacji.

Z permutacjami zbioru mamy do czynienia wówczas, gdy porządkujemy elementy zbioru. Permutacja to każde ustawienie wszystkich elementów zbioru w dowolnej kolejności.

Z trzech danych elementów: $A, B, C$, można utworzyć następujące permutacje:
$ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA$

Liczba permutacji zbioru złożonego z $n$ elementów jest równa $n!$ ($n$ silnia). $$P_n = n!$$

Zdefiniowane wyżej pojęcie permutacji można rozszerzyć na przypadki, gdy brane są pod uwagę powtórzenia elementów. Permutacja z powtórzeniami rozpatruje przypadki, gdy liczba powtórzeń danego elementu jest ściśle określona.

Permutacją z powtórzeniami zbioru n-elementowego, nazywamy każdy ciąg $n$-wyrazowy utworzony z elementów tego zbioru, wśród których pewne elementy powtarzają się odpowiednio $n_1, n_2, \ldots, n_k$ razy.

Jeżeli spośród elementów: $A, B, C$, element $A$ weźmiemy dwa razy, element $B$ jeden raz i element $C$ jeden raz, możemy utworzyć następujące permutacje z powtórzeniami.
$AABC, AACB, ABAC, ABCA, ACAB, ACBA$
$BAAC, BACA, BCAA, CAAB, CABA, CBAA$

Liczba permutacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego, wśród których pewne elementy powtarzają się odpowiednio $n_1, n_2, \ldots, n_k$ razy wyraża się wzorem $P_n^{n_1, n_2, \ldots, n_k} = \frac{n!}{n_1! n_2! \ldots n_k!}$