Pierwiastki wielomianu
Wielomian W jak każda funkcja ma wykres, który można narysować na płaszczyźnie. Wykres wielomianu może mieć punkty wspólne z osią OX. Miejsce zerowe wielomianu W lub rozwiązania równania wielomianowego nazywamy pierwiastkami.
Liczbę p nazywamy pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy
W(p) = 0.
Liczbę p nazywamy k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy W(x) jest podzielny przez (x - p)k i nie jest podzielny przez (x - p)k+1.
Twierdzenie Bezoute'a
Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko
wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x - p).
Twierdzenie Bezouta mówi o tym, że istnieje ścisła zależność pomiędzy posiadaniem przez wielomian pierwiastka, a jego podzielnością przez pewien dwumian.
Rozszerzone twierdzenie Bezoute'a.
Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x - p)
jest równa W(p).
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu.
Jeżeli współczynniki wielomianu
W(x) =
anxn +
an-1xn-1 +
... + a2x2 + a1x + a0
są liczbami całkowitymi, an ≠ 0 i liczba
(zapisany jako ułamek nieskracalny) jest pierwiastkiem tego wielomianu, to p dzieli
a0, natomiast q dzieli an
Twierdzenie to wyznacza skończony zbiór pierwiastków wymiernych, nie mówi nic o pierwiastkach niewymiernych wielomianu. Jeśli istnieją wymierne pierwiastki wielomianu W(x), to są one postaci , gdzie p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0, a q jest dzielnikiem współczynnika an, gdzie n jest stopniem wielomianu.