Podstawowe twierdzenie arytmetyki

Liczby naturalne można rozkładać na czynniki, np. $18 = 3 \cdot 6$. Liczbę $18$ otrzymaliśmy przez pomnożenie dwóch liczb $3$ i $6$. Ale może ona być otrzymana jako iloczyn innych liczb, np. $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3$. Są liczby, których nie da się przedstawić na więcej niż jeden sposób, to liczby pierwsze, np. $17 = 1 \cdot 17$. Liczba $18$ została przedstawiona w postaci iloczynu na kilka sposobów, ale tylko ostatni sposób $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$ zawiera jako czynniki wyłącznie liczby pierwsze. Powstaje pytanie, czy każdą liczbę można przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych? Odpowiedź brzmi: tak, co więcej, dla każdej liczby istnieje tylko jeden taki rozkład. W przypadku liczby $18$ otrzymujemy $2 \cdot 3 \cdot 3$, a kolejność czynników nie ma znaczenia z powodu przemienności mnożenia. W przypadku liczb pierwszych jedynym rozkładem jest ona sama. Odpowiedź na pytanie to twierdzenie znane jako podstawowe twierdzenie arytmetyki przypisywane Euklidesowi.

Każda liczba naturalna może być zapisana jako iloczyn liczb pierwszych na dokładnie jeden sposób.

Twierdzenie to oznajmia nam, że liczby pierwsze są elementami pierwotnymi, z których zbudowane są wszystkie liczby naturalne, są swego rodzaju atomami, z których budowane są cząstki. Ale budulec ten - liczby pierwsze to zbiór chaotyczny i nie ma żadnej reguły, która pozwoliłaby na podanie ich wszystkich. Liczby te rozłożone są wśród liczb naturalnych w sposób przypadkowy i nie poddają się żadnym regułom. Z twierdzenia tego wnioskujemy, że każda liczba naturalna większa od $1$ posiada przynajmniej jeden dzielnik będący liczbą pierwszą oraz każdą liczbę naturalną większą od $1$ można przedstawić jako skończony iloczyn samych liczb pierwszych.