Prawdopodobieństwo

Zdarzenia losowe w otaczającym nas świecie mają szczególną własność - ich częstości występowania w długich seriach doświadczeń obdarzone są pewną regularnością. Teoretyczny odpowiednik pojęcia częstości to pojęcie prawdopodobieństwa. Formalnie prawdopodobieństwem zdarzenia A będziemy nazywali liczbę oznaczoną przez P(A), przyporządkowaną temu zdarzeniu, zawierającą się między 0 a 1. Prawdopodobieństwo równe 0 jest matematycznym wyrażeniem niemożliwości, zaś 1 pewności. Pomiędzy nimi znajdują się wszystkie stopnie możliwości.

Niech Ω będzie daną skończoną przestrzenią zdarzeń elementarnych. Jeżeli każdemu zdarzeniu A ⊂ Ω jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba P(A) taka, że:
P(A) ≥ 0
P(Ω) = 1
B ⊂ Ω i A ∩ B = Ø ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
to mówimy, że na zdarzeniach zbioru Ω określone zostało prawdopodobieństwo, a liczbę P(A) nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A.

Jeżeli zdarzeniu A sprzyjają wyniki ω₁, ω₂, ..., ω_k ∈ Ω
oraz P(ω₁) = p₁, P(ω₂) = p₂, ..., P(ω_k) = p_k, to
P(A) = p₁ + p₂ + ... + p_k

Jest to aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, którą podał w 1933 Andriej Kołmogorow. Nakłada ona pewne warunki formalne, jakie ma spełniać przyporządkowanie prawdopodobieństw zdarzeniom. Dla danego zdarzenia A liczba P(A) wyrażająca jego prawdopodobieństwo powinna być dobierana tak, aby przy niezależnych powtórzeniach doświadczenia, w wyniku którego zdarzenie A może zajść lub nie zajść, częstość występowania tego zdarzenia zbliżała się nieograniczenie do P(A) przy wzroście liczby doświadczeń.

Jeżeli przestrzeń Ω jest skończona i wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A jest ilorazem liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających temu zdarzeniu przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.
$P (A) = \frac{liczba wyników sprzyjających zdarzeniu A}{liczba wszystkich wyników przestrzeni Ω}$
$P (A) = \frac{\overset{=}{A}}{\overset{=}{Ω}}$

Jest to klasyczna definicja prawdopodobieństwa, którą podał po raz pierwszy Pierre Simon de Laplace w roku 1812. Definicja klasyczna pozwala obliczać prawdopodobieństwo w prostych przypadkach, jednak nie można jej stosować dla zbiorów nieskończonych. W praktyce bardzo często jednak spotykamy się z zagadnieniami, gdzie wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, wówczas możemy korzystać z powyższego wzoru.

Własności prawdopodobieństwa

P(Ø) = 0,
P(Ω) = 1,
P(A') = 1 - P(A),
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B),
A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B).

Jeżeli zdarzenia A₁, A₂, ..., A_n wykluczają się parami, to
P(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_n) = P(A₁) + P(A₂) + ... + P(A_n)

Schemat rozwiązywania pewnej grupy zadań z rachunku prawdopodobieństwa

1. Określamy co jest zdarzeniem elementarnym.
2. Znajdujemy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych. ( $\overset{=}{Ω}$ )
3. Określamy, które spośród zdarzeń elementarnych sprzyjają zdarzeniu A, zdarzeniu, którego prawdopodobieństwo mamy policzyć.
4. Znajdujemy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, ( $\overset{=}{A}$ )
5. Obliczamy P(A), $P (A) = \frac{\overset{=}{A}}{\overset{=}{Ω}}$