Przekształcenia geometryczne w przestrzeni
Funkcję, której dziedziną i przeciwdziedziną jest zbiór wszystkich punktów przestrzeni nazywamy przekształceniem geometrycznym (odwzorowaniem geometrycznym).
Dana jest płaszczyzna π oraz prosta k przecinająca tę płaszczyznę.
Rzutem równoległym na płaszczyznę π w kierunku prostej k nazywamy
przekształcenie przestrzeni na płaszczyznę π, które każdemu punktowi A
przyporządkowuje punkt A' przecięcia płaszczyzny π z tą prostą równoległą
do prostej k, która przechodzi przez punkt A. Płaszczyznę π nazywamy
rzutnią, kierunek prostej k kierunkiem rzutowania, a prostą przechodzącą przez
dany punkt i jego obraz - prostą rzutującą.
Rzutem prostokątnym punktu A na płaszczyznę π nazywamy rzut równoległy tego punktu na płaszczyznę π w kierunku prostopadłym do niej.
Jeżeli prosta k, nie jest prostopadła do płaszczyzny π, to kątem nachylenia tej prostej do płaszczyzny π nazywamy kąt ostry między prostą k i jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę π.
Symetrią środkową względem punktu O nazywamy przekształcenie geometryczne przestrzeni, w którym dowolnemu punktowi A przyporządkowany jest taki punkt A', że punkt O jest środkiem odcinka AA'.
Symetrią osiową względem prostej k nazywamy przekształcenie geometryczne przestrzeni,
w którym dowolnemu punktowi A przyporządkowany jest taki punkt A', że:
- jeżeli A∈k, to A' = A
- jeżeli A∉k, to prosta k jest symetralną odcinka AA'.
Symetrią płaszczyznową względem płaszczyzny π nazywamy przekształcenie, które każdemu punktowi A∉π przestrzeni przyporządkowuje punkt A' taki, że odcinek AA' jest prostopadły do płaszczyzny π i jego środek leży na tej płaszczyźnie. Jeżeli A∈π, wówczas A' = A.
Jeżeli obrazem figury f w symetrii środkowej względem punktu S jest figura f, to punkt nazywamy środkiem symetrii figury f.
Jeżeli obrazem figury f w symetrii osiowej względem prostej k jest figura f, to prostą k nazywamy osią symetrii figury f.
Izometrią nazywamy przekształcenie geometryczne p zachowujące odległość, tzn. takie przekształcenie geometryczne, że |AB| = |p(A)p(B)| dla dowolnych punktów A i B przestrzeni.
Figury f i g w przestrzeni nazywamy przystającymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje izometria p taka, że p(f) = g.
Przesunięciem równoległym (translacją) o wektor . nazywamy przekształcenie geometryczne przestrzeni, w którym dowolnemu punktowi A przyporządkowany jest taki punkt A', że .
Przekształcenie geometryczne p nazywamy podobieństwem o skali k > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy |p(A)p(B)| = k × |AB| dla dowolnych punktów A i B przestrzeni.
Figury f i g w przestrzeni nazywamy podobnymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podobieństwo p takie, że p(f) = g. Oznaczamy f ~ g.