logowanie

Reguła de l'Hospitala

Reguła została odkryta przez Johanna Bernoulliego, opublikowana zaś przez jego ucznia Guillaume Francois Antoine de l'Hospital. W 1696 G. de l'Hospital wydał podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes, w którym twierdzenie zawarł.

Jeżeli funkcje f i g są określone w pewnym sąsiedztwie S punktu x₀ oraz spełnione są warunki:
                ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=0}$,
                istnieją pochodne f '(x) i g'(x) dla każdego x∈S,
                g'(x) ≠ 0 dla każdego x∈S
                istnieje granica ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\text{'}\left(x\right)}{g\text{'}\left(x\right)}}$ (właściwa lub niewłaściwa),
to istnieje granica ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}$ (odpowiednio właściwa lub niewłaściwa), przy czym
                                    ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\text{'}\left(x\right)}{g\text{'}\left(x\right)}}$.

Twierdzenie prawdziwe jest także dla ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=\infty }$ (-∞)

Twierdzenie pozostaje w mocy dla granic jednostronnych oraz dla granic funkcji, gdy x→∞ (x→-∞). Należy wtedy sąsiedztwo S punktu x₀ zastąpić odpowiednio sąsiedztwem lewostronnym, sąsiedztwem prawostronnym, przedziałem nieskończonym (-∞, a) bądĽ (a, ∞), gdzie a jest dowolną, ale ustaloną liczbą rzeczywistą.

Z reguły de l'Hospitala korzystamy przy obliczaniu granic wyrażeń nieoznaczonych typu: 0 · ∞, ∞ - ∞, 0⁰, ∞⁰, 1^∞, które w łatwy sposób dają się doprowadzić do wyrażeń nieoznaczonych typu $\frac{0}{0}$ i $\frac{\infty }{\infty }$.

Dla nieoznaczoności typu 0 · ∞ korzystamy z tożsamości
     f(x)g(x) = $\frac{f\left(x\right)}{{\left(g\right(x\left)\right)}^{-1}}=\frac{g\left(x\right)}{{\left(f\right(x\left)\right)}^{-1}}$       $$,    $$.

Dla nieoznaczoności typu ∞ - ∞ korzystamy z tożsamości
     f(x) - g(x) = $\frac{{\left(g\right(x\left)\right)}^{-1}-{\left(f\right(x\left)\right)}^{-1}}{{\left(f\right(x\left)g\right(x\left)\right)}^{-1}}$       $$.

Dla nieoznaczoności typu 0⁰, ∞⁰, 1^∞ korzystamy ze wzorów
(f(x))^g(x) = e^g(x)lnf(x)    (f(x) > 0)
${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }{e}^{\phi \left(x\right)}=e^{\underset{x\to x_0}{\lim }\phi \left(x\right)}}$,
a następnie przy obliczaniu granicy, jeżeli zajdzie potrzeba korzystamy z dwóch poprzednich tożsamości.

© 2024 math.edu.pl      kontakt