Reguła dodawania

Reguła dodawania jest elementarną metodą kombinatoryki, często stosowaną intuicyjnie. Mówi ona, że jeżeli dany zbiór jest sumą rozłącznych parami podzbiorów i znana jest liczba elementów każdego podzbioru, to liczba elementów zbioru jest sumą liczb elementów wszystkich podzbiorów.

Na przykład: jeśli chcemy wybrać jedną osobę spośród dwóch chłopców i trzech dziewczynek, to możemy to zrobić na $2+3 = 5$ sposobów. Przykład wydaje się bardzo prosty, ale taka właśnie jest reguła dodawania - prosta. Gdybyśmy chcieli dokonać wyboru spośród tylko chłopców, to moglibyśmy zrobić to na $2$ sposoby, w przypadku wyboru spośród tylko dziewczynek - to takiego wyboru moglibyśmy dokonać na $3$ sposoby. Ale gdy wybieramy zarówno spośród chłopców i dziewczynek, to możemy to uczynić na $2+3$ sposoby.

Jeśli mamy wybrać pewien element z dwóch zbiorów $A$ i $B$, przy czym zbiór $A$ ma $m$ elementów, a zbiór $B$ ma $n$ elementów i zbiory te nie mają wspólnych elementów, to wyboru tego możemy dokonać na $m + n$ sposobów.

Regułę tę można sformułować bardziej ogólnie.
Jeśli zbiór wszystkich wyników możemy podzielić na $n$ podzbiorów takich, że w pierwszym podzbiorze jest $k_1$ wyników, w drugim jest $k_2$ wyników, ..., w $m$-tym jest $k_m$ wyników i podzbiory te nie mają wspólnych elementów, to wszystkich wyników jest $k_1 + k_2 + \ldots + k_n$.

Ile jest liczb dwucyfrowych o nieparzystej sumie cyfr?

Rozwiązanie
Suma cyfr może być nieparzysta w dwóch przypadkach:
1. cyfra dziesiątek jest parzysta, cyfra jedności jest nieparzysta,
2. cyfra dziesiątek jest nieparzysta, cyfra jedności jest parzysta,

W pierwszym przypadku cyfrą dziesiątek może być jedna z czterech cyfr: $2,4,6,8$, a cyfrą jedności może być jedna z pięciu cyfr $1,3,5,7,9$.
W przypadku drugim cyfrą dziesiątek może być jedna z pięciu cyfr: $1,3,5,7,9$, cyfrą jedności może być jedna z pięciu cyfr $0,2,4,6,8$.

Liczb z punktu pierwszego mamy $4 \cdot 5 = 20$ (zbiór $A$).
Liczb z punktu drugiego mamy $5 \cdot 5 = 25$ (zbiór $B$).

Zwróćmy uwagę, że zbiory $A$ i $B$ są rozłączne, czyli nie mają wspólnych elementów. W takim przypadku możemy skorzystać z reguły dodawania, gdzie wynikiem jest suma wyników zbioru $A$ i $B$.
Rozwiązaniem jest $20 + 25 = 55$.