Reszta z dzielenia

Dla dowolnej liczby całkowitej $a$ i dowolnej liczby naturalnej $b$ istnieje tylko jedna para liczb całkowitych $k$ i $r$ taka, że $a = k \cdot b + r$, gdzie $0 \le r \lt b$.

Liczbę $k$ nazywamy ilorazem z dzielenia $a$ przez $b$, a liczbę $r$ - resztą tego dzielenia.

Z twierdzenia tego wnioskujemy, że przy danej liczbie $b$ każdą liczbę całkowitą $a$ można zapisać w postaci $a = k \cdot b + r$, gdzie $r$ jest liczbą całkowitą mniejszą od $b$. Mówimy wówczas, że liczba $a$ daje resztę $r$ przy dzieleniu przez $b$. W szczególności, jeśli $r = 0$, to mówimy, że liczba $a$ jest podzielna przez $b$.

Przykłady:
$13 \div 5 = 2$, reszty $3$, bo $13 = 2 \cdot 5 + 3$
$20 \div 6 = 3$, reszty $2$, bo $20 = 3 \cdot 6 + 2$
$100 \div 15 = 6$, reszty $10$, bo $100 = 6 \cdot 15 + 10$

Podzielność liczb ujemnych

Według powyższej definicji, w której liczba $a$ jest dowolną liczbą całkowitą, a dzielnik $b$ jest liczbą naturalną, reszta $r$ z dzielenia liczby ujemnej $a$ przez liczbę dodatnią $b$ będzie dodatnia. Należy znaleźć zatem taką parę liczb całkowitych $k$ i $r$, gdzie $a = k \cdot b + r$ oraz $0 \le r \lt b$.

Przykład:
$-12 \div 5 = -3$, reszty $3$, bo $-12 = -3 \cdot 5 + 3$
Iloraz $k$ równy jest $-34$, reszta $r = 3$.
Dla tak określonej pary $k$ i $r$ dzielenie zostało wykonane zgodnie z definicją.

Jeśli przyjęlibyśmy, że reszta z dzielenia liczby całkowitej $a$ przez inną liczbę całkowitą $b$ może być liczbą ujemną, to prowadziłoby to do niejednoznaczności.

Np. dzielenie: $-14 \div 5$ można byłoby zapisać dwojako:
$-14 \div 5 = -2$, reszty $-4$
albo
$-14 \div 5 = -3$, reszty $1$

W myśl definicji drugie działanie zostało wykonane poprawnie, reszta z dzielenia liczby $-14$ przez liczbę $5$ wynosi $1$.

Dla dzielnika całkowitego rozszerzmy pierwszą definicję.
.

Dla liczb całkowitych $a$ i $b \neq 0$ istnieje jedna i tylko jedna para liczb całkowitych $k$ i $r$ taka, że $a = k \cdot b + r$, gdzie $0 \le r \lt |b|$. Liczbę $a$ nazywamy dzielną, liczbę $b$ - dzielnikiem, $k$ - ilorazem, a liczbę $r$ - resztą.

Powyższa definicja jednoznacznie określa, że reszta z dzielenia liczby całkowitej $a$ przez liczbę całkowitą $b$ musi być liczbą naturalną mniejszą od wartości bezwzględnej liczby $b$.

Przykłady
$13 \div (-5) = -2$, reszty $3$, bo $13 = (-2) \cdot (-5) + 3$
$-13 \div 5 = -3$, reszty $2$, bo $-13 = (-3) \cdot 5 + 2$
$-13 \div (-5) = 3$, reszty $2$, bo $-13 = 3 \cdot (-5) + 2$