Równania trygonometryczne

Równaniem trygonometrycznym nazywamy takie równanie, w którym zmienna występuje tylko w wyrażeniu, z którego oblicza się wartości funkcji trygonometrycznych

Zgodnie z definicją przykładami równań trygonometrycznych są:
sinx = 0,5, sinx + cosx = 1, tg²x + cosx = 1.

Równaniami trygonometrycznymi nie są natomiast równania typu:
x + sinx = 0, sinx + 2 x + ctgx = 1.

Rozwiązując równania trygonometryczne, staramy się je doprowadzić do równań elementarnych postaci: sinx = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a, gdzie a jest ustaloną liczbą rzeczywistą. Następnie sprawdzamy w tablicach trygonometrycznych dla jakiego kąta sinx (cosx, tgx, ctgx) jest równy otrzymanej wartości.

Ponieważ dla każdego x∈R wartości funkcji sinus i kosinus zawierają się w przedziale <-1, 1>, więc równania sinx = a i cosx = a mają rozwiązania tylko wtedy, gdy a ∈ <-1, 1>.

Rozwiązania elementarnych równań trygonometrycznych

Równanie	Dziedzina równania	Rozwiązanie równania	Przedział podstawowy
sinx = a a ∈ <-1, 1>	R	x₁ = x₀ + 2kπ x₂ = π - x₀ + 2kπ	$x_{0} \in < - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} >$
cosx = a a ∈ <-1, 1>	R	x₁ = x₀ + 2kπ x₂ = - x₀ + 2kπ	x₀ ∈ <0, π>
tgx = a a ∈ R	$R \ {x = \frac{π}{2} + k π; k \in Z}$	x = x₀ + kπ	$x_{0} \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$
ctgx = a a ∈ R	R\ {x = kπ, k∈Z}	x = x₀ + kπ	x₀ ∈ (0, π)

Przykład

2sinx = 1
sinx = $\frac{1}{2}$
W przedziale