Równania wykładnicze

Równaniem wykładniczym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje w wykładniku potęgi.

Sposób rozwiązania równania wykładniczego zależy od jego typu. Najczęściej w rozwiązaniu stosuje się metodę sprowadzania do wspólnej podstawy lub metodę podstawienia.

Metoda sprowadzania do wspólnej podstawy.
Metoda polega na doprowadzeniu równania do postaci, w której po obu stronach znaku równości znajdą się potęgi o tej samej podstawie. Następnie wykorzystując różnowartościowość funkcji wykładniczej równość potęg zamienia się na równość wykładników tych potęg.
Jeżeli a∈R⁺\{1}, to
a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x)

Najprostszym równaniem wykładniczym jest równanie postaci:
a^f(x) = b,
gdzie a∈R⁺\{1}, b∈R i f(x) jest dowolną funkcją różną od stałej.

Rozwiązując takie równanie:
- doprowadzamy a i b do jednakowych podstaw stosując potęgowanie,
- wykorzystujemy twierdzenie o mnożeniu, dzieleniu lub potęgowaniu potęg o tej samej podstawie,
- jeżeli podstawy nie dadzą doprowadzić się do identycznych, to korzystamy z równości f(x)=log_ab

W równaniu typu f(a^x) = 0, gdzie f jest dowolną funkcją różną od stałej stosuje się podstawienie a^x = t, przy założeniu t > 0.
Szukamy dodatnich pierwiastków równania f(t) = 0, po czym wracamy do podstawienia i rozwiązujemy równanie z niewiadomą x.

Niektórych równań nie da się doprowadzić do wystąpienia po obu stronach potęg o takich samych podstawach, ale można doprowadzić do wystąpienia po obu stronach potęg o różnych podstawach: a^f(x) = b^g(x)
Następnie korzystając z zależności b = a^log_ab doprowadza się dane równanie do postaci a^f(x) = b^g(x) ⇔ a^f(x) = a^g(x)log_ab

Schemat rozwiązywania równań wykładniczych
1. Ustalamy dziedzinę.
2. Sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania kwadratowego albo jeszcze do innego równania, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z równości podstaw wynika równość wykładników.
3. Rozwiązujemy równanie.
4. Sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie.
5. Podajemy odpowiedź.