Niezwykłe równanie Eulera

I ta myśl niech pocieszy, że w istocie e^iπ + 1 = 0.
Diogenes

Równanie e^iπ + 1 = 0 pojawia się w Introductio Eulera, opublikowanym w Lozanie w 1748 roku. W tym równaniu można odnaleźć podstawowe liczby matematyki:
0, 1, π, e, i
i jest równaniem wiążącym funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą.

Leonhard Euler udowodnił, że, e^iφ = cosφ + isinφ, gdzie φ jest liczbą rzeczywistą. Liczba e^iφ jest punktem płaszczyzny, jego pierwszą współrzędną jest cosφ, drugą - sinφ. Podstawiając w miejsce φ = π otrzymujemy
e^iπ = cosπ + isinπ = -1 + 0
e^iπ + 1 = 0

I tak oto z wielkości, które pojawiły się w matematyce w różnych okresach, związane zostały ze sobą piękną formułą, która przyciąga uwagę i budzi zachwyt. Tożsamość Eulera nazywana jest także najpiękniejszym wzorem matematyki. Wykorzystuje trzy działania arytmetyczne i łączy pięć fundamentalnych stałych matematycznych.

Równanie Eulera oznacza, że ${(1 + \frac{i π}{n})}^{n}$ coraz bardziej zbliża się do -1 wraz ze wzrostem wartości n. Jest to punkt otrzymany przez połączenie n trójkątów tego samego kształtu. Im większe stają się n, tym bardziej ta figura zbliża się do kształtu półkola.