Zbiór zadań. Rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (równania z wartością bezwzględną)

Zadanie 9

6 - |4-x| = |2 - 3x|

Rozwiązanie

Przekształcamy równanie: |2 - 3x| + |4 - x| = 6

Wyznaczamy liczby w jakich zerują się poszczególne wartości bezwzględne, tzn. wyznaczamy przedziały x - a i rozwiązujemy równania w tych przedziałach.

Równanie |2 - 3x| + |4 - x| = 6 rozwiązujemy w trzech przedziałach:
(-∞; $\frac{2}{3}$ >, ( $\frac{2}{3}$ ; 4>, (4; ∞)

Przedział pierwszy: x ∈ (-∞; $\frac{2}{3}$ >
2 - 3x ≥ 0, zatem |2 - 3x| = 2 - 3x
4 - x > 0, zatem |4 - x| = 4 - x
Dla tego przedziału równanie |2 - 3x| + |4 - x| = 6 ma postać:
2 - 3x + 4 - x = 6
-4x = 0
x = 0
Liczba x = 0 należy do przedziału (-∞; $\frac{2}{3}$ >, zatem jest rozwiązaniem równania.

Przedział drugi: x ∈ ( $\frac{2}{3}$ ; 4>
2 - 3x < 0, zatem |2 - 3x| = -2 + 3x
4 - x ≥ 0, zatem |4 - x| = 4 - x
Dla tego przedziału równanie |2 - 3x| + |4 - x| = 6 ma postać:
-2 + 3x + 4 - x = 6
2x = 4
x = 2
Liczba x = 2 należy do przedziału ( $\frac{2}{3}$ ; 4>, zatem jest rozwiązaniem równania.

Przedział trzeci: x ∈ (4; ∞)
2 - 3x < 0, zatem |2 - 3x| = -2 + 3x
4 - x < 0, zatem |4 - x| = -4 + x
Dla tego przedziału równanie |2 - 3x| + |4 - x| = 6 ma postać:
-2 + 3x - 4 + x = 6
4x = 12
x = 3
Liczba x = 3 nie należy do przedziału (4; ∞), zatem nie jest rozwiązaniem równania.

Rozwiązanie równania 6 - |4-x| = |2 - 3x| to suma rozwiązań w poszczególnych przedziałach.
Rozwiązaniem równania 6 - |4-x| = |2 - 3x| są x ∈ {0; 2}

powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>