Zbiór zadań. Rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (zadania różne)

Zadanie 155

Wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby $2^{5^{1}} + 2^{5^{2}} + 2^{5^{3}} + \dots + 2^{5^{2009}} + 2^{5^{2010}}$ .

Rozwiązanie

Prawdą jest, że $2^{5^{1}} \equiv 32$ (mod 100)
Wykażemy, że dla k naturalnego $2^{5^{k}} \equiv 32$ (mod 100)
Dla k = 1 zależność jest spełniona. Zakładamy, że $2^{5^{k}} \equiv 32$ (mod 100)
i wykażemy, że $2^{5^{k + 1}} \equiv 32$ (mod 100)
Jest prawdą, że $2^{5^{k + 1}} \equiv 32$ = $(2^{5^{k}})^{5} \equiv 3 2^{5}$
$3 2^{2} \equiv 24$ (mod 100) i $3 2^{3} \equiv 68$ (mod 100)
Mamy zatem $3 2^{5} \equiv 24 \cdot 68 = 1632 \equiv 68$ (mod 100)
Skoro $2^{5^{k}} \equiv 32$ (mod 100), to
$2^{5^{1}} + 2^{5^{2}} + 2^{5^{3}} + \dots + 2^{5^{2009}} + 2^{5^{2010}} \equiv 2010 \cdot 32 \equiv 10 \cdot 32 = 320 \equiv 20$ (mod 100).
Dwie ostatnie cyfry tej liczby to "20".

powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>