Zbiór zadań. Rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (zadania różne)

Zadanie 159

W turnieju szachowym każdy zawodnik rozegrał dokładnie jedną partię z każdym innym uczestnikiem turnieju. Trzech szachistów przegrało po jednej partii, a jeden przegrał wszystkie partie. Pozostali uczestnicy turnieju wygrali po dwie partie. Ilu szachistów brało udział w turnieju, jeśli żadna partia nie zakończyła się remisem?

Rozwiązanie

Niech n oznacza liczbę szachistów biorących udział w turnieju.
Każdy szachista rozegrał n - 1 partii, wszystkich rozegranych partii było $\frac{n (n - 1)}{2}$ .
Trzech uczestników turnieju wygrało 3(n - 2) partii, a n - 4 uczestników wygrało 2(n - 4) partii.
Jeden z szachistów nie wygrał ani jednej partii, mamy więc równanie: $\frac{n (n - 1)}{2} = 3 (n - 2) + 2 (n - 4) = 5 n - 14$ lub n(11 - n) = 28.
Równanie ma dwa rozwiązania n = 4 i n = 7, ale liczba uczestników turnieju musi być większa od 4.
W turnieju brało udział 7 szachistów.

powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>