Zbiór zadań. Rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (zadania różne)

Zadanie 160

Ile jest liczb naturalnych n takich, że liczba n⁵ + n + 1 jest liczbą pierwszą?

Rozwiązanie

Dla n = 1 mamy liczbę 3, która jest liczbą pierwszą. Niech n > 1
n⁵ + n + 1 = n⁵ - n² + n² + n + 1 = n²(n³ - 1) + n² + n + 1 = n²(n - 1)(n² + n + 1) + n² + n + 1 = (n² + n + 1)(n²(n - 1) + 1)
Każdy czynnik otrzymanego iloczynu dla n > 1 jest liczbą większą od 1, więc liczba n⁵ + n + 1 jest złożona. Tylko dla n = 1 liczba n⁵ + n + 1 jest liczbą pierwszą.

powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>