Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 171
Jaka jest najmniejsza liczba naturalna n taka, że dla dowolnej liczby pierwszej p prawdziwa jest implikacja: p-1|n ⇒ p|n.
Rozwiązanie
Dla liczby pierwszej p = 2 mamy:
2-1|n ⇒ 2|n,
Zatem zachodzi 2|n (liczba naturalna n musi być parzysta)
Niech p = 3
3-1|n ⇒ 3|n,
stąd 3|n. Wobec tego 6|n
Niech p = 7
7-1|n ⇒ 7|n,
stąd 7|n. Stąd 42|n.
Niech p = 43
43-1|n ⇒ 43|n,
stąd 43|n. Zatem 1806|n
Liczba 1807 nie jest liczbą pierwszą, zatem liczba n musi być nie mniejsza niż 1806.
Dzielnikami liczby 1806 są 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42, 43, 86, 129, 258, 301, 602, 903, 1806.
Ponieważ liczba p jest liczbą pierwszą, więc liczba p - 1 może wynosić: 1, 2, 6, 42. Dla każdej z tych liczb implikacja jest prawdziwa.
Najmniejszą liczbą spełniającą warunki zadania jest 1806.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>