Zbiór zadań. Rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (zadania różne)

Zadanie 173

Punkty A, B, C, D, ... są kolejnymi wierzchołkami wielokąta foremnego, przy czym zachodzi związek: $\frac{1}{A B} = \frac{1}{A C} + \frac{1}{A D}$ . Ile boków ma ten wielokąt?

Rozwiązanie

Punkty A, B, C, D nie mogą być wszystkimi wierzchołkami wielokąta, ponieważ byłby on kwadratem, dla którego równość nie zachodzi.
Niech E będzie kolejnym wierzchołkiem wielokąta występujący po D.
Z równości $\frac{1}{A B} = \frac{1}{A C} + \frac{1}{A D}$ wynika, że AC · AD = AB · AD + AB · AC

Zachodzi także AC = CE, AB = CD = DE
Podstawiając do powyższej równości otrzymujemy:
CE · AD = CD · AD + DE · AC

Z twierdzenia Ptolomeusza dla czworokąta ACDE wpisanego zachodzi:
CE · AD = CD · AE + DE · AC

Odejmując równości otrzymujemy, że AE = AD, co oznacza, że punkty D i E leżą symetrycznie względem średnicy przechodzącej przez punkt A. Wielokąt ABCD... jest więc siedmiokątem foremnym.

powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>