Zbiór zadań. Rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (zadania różne)

Zadanie 176

Jaka jest majmniejsza wartość ułamka $\frac{x^{4} + x^{2} + 5}{(x^{2} + 1)^{2}}$ ?

Rozwiązanie

$\frac{x^{4} + x^{2} + 5}{(x^{2} + 1)^{2}} = \frac{(x^{2} + 1)^{2} - (x^{2} + 1) + 5}{(x^{2} + 1)^{2}} = 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{5}{(x^{2} + 1)^{2}}$
Niech $\frac{1}{x^{2} + 1} = u$ , wówczas mamy: $5 u^{2} - u + 1$

Funkcja kwadratowa $a x^{2} + b x + c$ , której współczynnik a jest dodatni, osiąga minimum, gdy $x = \frac{- b}{2 a}$

Najmniejsza wartość wyrażenia odpowiada dla $u = \frac{1}{10}$ i wynosi $\frac{19}{20} = 0.95$

Wartość ułamka jest najmniejsza dla x = 3 lub x = -3 i wynosi 0,95.

powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>