Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 177
Znajdź rosnący dziesięciowyrazowy ciąg arytmetyczny utworzony z liczb pierwszych, w którym ostatni wyraz jest liczbą możliwie najmniejszą.
Rozwiązanie
Różnicą tego ciągu nie może być liczba nieparzysta, ponieważ, co drugi wyraz byłby liczbą parzystą, co jest niemożliwe. Różnica ciągu musi być zatem liczbą parzystą, stąd wniosek, że pierwszym wyrazem ciągu nie może być liczba 2.
Prawdziwe jest twierdzenie: jeśli n wyrazów ciągu arytmetycznego są liczbami pierwszymi nieparzystymi, to różnica ciągu jest podzielna przez każdą liczbę pierwszą mniejszą od n.
Z twierdzenie tego wynika, że różnica szukanego ciągu musi być podzielna przez 2, 3 ,5 i 7, zatem przez liczbę 210.
Należy znaleźć ciąg o różnicy 210. W myśl powyższego twierdzenia pierwszym wyrazem ciągu (an) nie mogą być liczby 2, 3, 5 i 7. Dla a1 = 11 wyraz a2 = 221 jest liczbą złożoną.
Pierwszy wyraz musi być liczbą większą od 11 i żaden wyraz ciągu nie może być podzielny przez 11. Liczba 210 przy dzieleniu przez 11 daje resztę 1. Gdyby pierwszy wyraz szukanego ciągu przy dzieleniu przez 11 dawał resztę większą od 1, to przy każdym następnym wyrazie reszta zwiększałaby się o 1 co doprowadziłoby do sprzeczności.
Pierwszy wyraz ciągu jako liczba nieparzysta musi być postaci 22k + 1, gdzie k jest liczbą naturalną.
Liczbami pierwszymi tej postaci są liczby: 23, 67, 89, 199, ...
Sprawdzając poszczególne liczby ciąg arytmetyczny o różnicy 210 złożony z dziesięciu liczb pierwszych otrzymamy, jeśli pierwszym wyrazem będzie liczba 199.
Wyrazy tego ciągu: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089.
Jest to ciąg spełniający warunki zadania.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>