Zbiór zadań, (zadania różne)
Zadanie 187
Znajdź najmniejszą liczbę naturalną n, dla której n2 - 1 jest iloczynem trzech różnych liczb pierwszych.
Rozwiązanie
Liczba n musi być liczbą większą od 2, ponieważ 22 - 1 = 3
n2 - 1 = (n + 1)(n - 1)
Obie liczby n + 1 i n - 1 nie mogą być jednocześnie złożone, ponieważ wtedy liczba n2 - 1 nie byłaby iloczynem trzech liczb pierwszych.
Ponadto czynniki n + 1 i n - 1 muszą być liczbami nieparzystymi, bo inaczej ich iloczyn byłby podzielny przez 4. Zatem liczba n musi być liczbą parzystą.
Jedna z liczb n - 1, n + 1 musi być liczbą pierwszą, druga iloczynem dwóch różnych liczb pierwszych. Najmniejszą liczbą n spełniającą powyższe warunki jest liczba 14, dla której n - 1 = 13, n + 1 = 15 = 3 · 5.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>