Zbiór zadań. Rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (zadania różne)

Zadanie 188

Znajdź liczbę naturalną n > 1, dla której suma kwadratów kolejnych liczb naturalnych od 1 do n jest kwadratem liczby naturalnej.

Rozwiązanie

$1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Należy znaleźć najmniejszą liczbę naturalną n większą od 1, dla której $n (n + 1) (2 n + 1) = 6 m^{2}$ , gdzie m jest liczbą naturalną.

Należy rozpatrzyć sześć przypadków n = 6k, n = 6k + 1, n = 6k + 2, n = 6k + 3, n = 6k + 4, n = 6k + 5, gdzie k jest liczbą naturalną.
Dla n = 6k równanie ma postać k(6k + 1)(12k + 1) = m².
Czynniki są parami względnie pierwsze, zatem muszą być wszystkie kwadratami. Dla k = 1, 6k + 1 nie jest kwadratem, dla k = 4, 6k + 1 = 25, 12k + 1 = 49.

Dla n = 6k = 24 suma 1² + 2² + 3² + ... + 24² = 70².

Pozostałe przypadki nie spełniają równania, zatem rozwiązaniem jest n = 24

powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>