Zbiór zadań. Rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (zadania różne)

Zadanie 192

Rozwiąż układ równań

${\begin{array}{ccc} x^{2} - y z = 3 \\ y^{2} - z x = 4 \\ z^{2} - x y = 5 \end{array}$

i oblicz sumę x + y + z

Rozwiązanie

Obie strony każdego z trzech równań mnożymy odpowiednio przez y, z, x i otrzymujemy:
$x^{2} y - y^{2} z = 3 y$
$y^{2} z - z^{2} x = 4 z$
$z^{2} x - x^{2} y = 5 x$

Dodając stronami otrzymujemy równanie: 5x + 3y + 4z = 0

Analogicznie, mnożąć dane równania odpowiednio przez z, x, y i dodając stronami otrzymujemy 4x + 5y + 3z = 0

Z pierwszego równania wyznaczając niewiadomą z i podstawiając do drugiego równania otrzymujemy x = -11y,
wyznaczając x - otrzymujemy z = 13y

Podstawiając obie wartości np. do pierwszego z trzech danych rówań: $x^{2} - y z = 3$ otrzymujemy:
$(- 11 y)^{2} - y \cdot 13 y = 3$
$108 y^{2} = 3$

skąd $y = \frac{1}{6}$ lub $y = - \frac{1}{6}$ .

Ostatecznie otrzymujemy dwa rozwiązania:
1: $x = - \frac{11}{6}$ , $y = \frac{1}{6}$ , $z = \frac{13}{6}$
2: $x = \frac{11}{6}$ , $y = - \frac{1}{6}$ , $z = - \frac{13}{6}$ .

W pierwszym przypadku suma $x + y + z = \frac{1}{2}$ , w drugim $x + y + z = - \frac{1}{2}$ .

powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>