Zbiór zadań. Rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (zadania różne)

Zadanie 201

Znajdź największy sześcian liczby naturalnej niepodzielnej przez 10 taki, że po usunięciu jego trzech ostatnich cyfr także otrzymamy sześcian liczby naturalnej.

Rozwiązanie

Szukana liczba to 1728 = 12³. Po usunięciu trzech ostatnich cyfr mamy 1 = 1³

Jest to największa liczba o zadanych własnościach.
Niech 1000A + B, gdzie B to liczba utworzona z ostatnich cyfr.
Mamy zatem $1000 A + B = x^{3}, A = y^{3}$ , dla pewnych x, y naturalnych.
$B = (x - 10 y) (x^{2} + 10 x y + 100 y^{2})$
Ponieważ B jest mniejsze od 1000, a x > 10y, więc
$1000 > x^{2} + 10 x y + 100 y^{2} > 300 y^{2}$
Stąd wynika, że y = 1.

Zatem istnieją tylko dwie liczby o tej własności i są to liczby czterocyfrowe.
Pierwsza z nich to 11³ = 1331, druga 12³ = 1728, która jest rozwiązaniem zadania.

powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>